九州大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

まず$$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$であるから$$B^{-1}AB=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{array}\right)$$である。

(1)
点 $P(\sin \theta ,\cos \theta )$ の像は$$\left(\begin{array}{cc}\cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)$$である。第一成分は$$\sin \theta \cos 2\theta -\cos \theta \sin 2\theta =\sin (\theta -2\theta )=-\sin \theta$$であり、第二成分は$$-\sin 2\theta \sin \theta -\cos 2\theta \cos \theta =-\cos (2\theta -\theta )=-\cos \theta$$である。したがって像は $(-\sin \theta ,-\cos \theta )$ である。

(2)
直線 $y=x$ の方向ベクトルは $(1,1)$ である。この直線がそれ自身に移るためには、$(1,1)$ の像が $(1,1)$ に平行であればよい。 $(1,1)$ の像は $(\cos 2\theta -\sin 2\theta ,-\sin 2\theta -\cos 2\theta )$ である。これが $y=x$ 方向に平行である条件は二成分が等しいこと、すなわち $$\cos 2\theta -\sin 2\theta =-\sin 2\theta -\cos 2\theta$$ である。よって $2\cos 2\theta =0$ となる。$0\leqq \theta <\pi \mathrm{/}2$ だから $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ である。

(3) $\theta =\pi \mathrm{/}4$ のとき、$\cos 2\theta =0$、$\sin 2\theta =1$ なので $f(x,y)=(-y,-x)$ である。点が固定される条件は $(x,y)=(-y,-x)$ であり、これは $y=-x$ である。したがって直線 $y=-x$ 上の点はすべて動かない。

また、直線 $y=x$ 上の点 $(x,x)$ は $f(x,x)=(-x,-x)$ へ移る。これは $y=-x$ を軸として $(x,x)$ を反対側へ移した点である。任意の点は、直線 $y=-x$ 方向の成分と直線 $y=x$ 方向の成分に分けられるので、$f$ は直線 $y=-x$ に関する対称移動である。求める直線は $y=-x$ である。

$B$ を回転、$A$ を $x$ 軸対称として読み、合成 $B^{-1}AB$ がどの直線を軸とする対称移動かを角度で追う。成分計算を最小限にし、像・不変直線・対称軸を一つの幾何的解釈で求める。

$B$ は偏角を $\theta$ 増やす回転、$A$ は偏角 $\varphi$ を $-\varphi$ にする $x$ 軸対称、$B^{-1}$ は偏角を $\theta$ 減らす回転である。したがって偏角 $\varphi$ のベクトルは$$\varphi ⟼\varphi +\theta ⟼-(\varphi +\theta )⟼-\varphi -2\theta$$と移る。直線角 $-\theta$ を軸とする対称移動は$$\varphi ⟼2(-\theta )-\varphi =-\varphi -2\theta$$であるから、$f$ は直線角 $-\theta$ の軸対称である。

(1)
$P(\sin \theta ,\cos \theta )$ の偏角は $\pi \mathrm{/}2-\theta$ である。その像の偏角は$$-({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )-2\theta =-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta \mathrm{.}$$長さは変わらないので、像は$$(-\sin \theta ,-\cos \theta )\mathrm{.}$$(2)
直線 $y=x$ の直線角は $\pi \mathrm{/}4$ である。この直線がそれ自身へ移る条件は$$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}-2\theta \equiv {\displaystyle \frac{\pi }{4}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\pi )\mathrm{.}$$$0\leqq \theta <\pi \mathrm{/}2$ より$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$(3)
対称軸の直線角は $-\theta$ だから、$\theta =\pi \mathrm{/}4$ のとき軸は直線角 $-\pi \mathrm{/}4$ の直線である。よって$$y=-x\mathrm{.}$$