九州大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
点 $P(1,1)$ は、行列 $A$ によって $$Q=(a\cos \theta -a\sin \theta ,b\sin \theta +b\cos \theta )$$ へ移される。すなわち $$Q=(a(\cos \theta -\sin \theta ),b(\sin \theta +\cos \theta ))$$ である。

3点 $O,P,Q$ が同一直線上にあるとき、$P$ は直線 $y=x$ 上にあるので、$Q$ も直線 $y=x$ 上にある。したがって $$a(\cos \theta -\sin \theta )=b(\sin \theta +\cos \theta )$$ である。

ここで $$X=\cos \theta -\sin \theta ,Y=\sin \theta +\cos \theta$$ とおくと $X^2+Y^2=2$ であり、同一直線条件は $aX=bY$ である。よって $X=bY\mathrm{/}a$ として $${\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}{Y}^2+Y^2=2$$ より $$Y^2={\displaystyle \frac{2a^2}{a^2+b^2}}$$ である。

このとき $Q=(bY,bY)$ だから$$OQ=\sqrt{(bY{)}^2+(bY{)}^2}=\sqrt{2}\mathrm{\mid }bY\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}$$である。

(2)
三角形 $OPQ$ の面積は $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }1\cdot Q_y-1\cdot Q_x\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }{Q}_y-Q_x\mathrm{\mid }$$ である。ここで $$a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}},b={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}$$ だから $$a+b=\sqrt{3},b-a=-1$$ である。したがって $$Q_y-Q_x=b(\sin \theta +\cos \theta )-a(\cos \theta -\sin \theta )$$ $$=(a+b)\sin \theta +(b-a)\cos \theta =\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta$$ である。よって$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta \mathrm{\mid }=\mid \sin (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\mid$$となる。 $\theta$ は実数全体を動くので、$\mathrm{\mid }\sin (\theta -\pi \mathrm{/}6)\mathrm{\mid }$ の最大値は $1$ である。したがって $S_{\max }=1$ である。

行列を「回転してから $x,y$ 方向へ別々に拡大する変換」と読む。回転後の点を $(X,Y)$ と置くと $X^2+Y^2=2$ であり、(1) は円と直線の交点、(2) はコーシー・シュワルツの不等式で処理できる。

$$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$と置く。すなわち$$X=\cos \theta -\sin \theta ,Y=\sin \theta +\cos \theta ,X^2+Y^2=2.$$点 $Q$ は $(aX,bY)$ である。

(1)
$O,P,Q$ が同一直線上なら $Q$ は $y=x$ 上にあるので$$aX=bY\mathrm{.}$$したがって $(X,Y)$ は円 $X^2+Y^2=2$ と直線 $aX=bY$ の交点であり、$$X^2={\displaystyle \frac{2b^2}{a^2+b^2}},Y^2={\displaystyle \frac{2a^2}{a^2+b^2}}\mathrm{.}$$ゆえに$$O{Q}^2=(aX{)}^2+(bY{)}^2={\displaystyle \frac{4a^2{b}^2}{a^2+b^2}},$$よって$$OQ={\displaystyle \frac{2ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}\mathrm{.}$$(2)$$2S=\mathrm{\mid }{Q}_y-Q_x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta \mathrm{\mid }\mathrm{.}$$コーシー・シュワルツの不等式より$$\mathrm{\mid }\sqrt{3}\sin \theta -\cos \theta \mathrm{\mid }\leqq \sqrt{3+1}\sqrt{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }=2.$$等号は $(\sin \theta ,\cos \theta )$ が $(\sqrt{3},-1)$ に平行なときに実現する。したがって$$S_{\max }=1\mathrm{.}$$