九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$r(t)=1+\cos t,r^{\mathrm{\prime }}(t)=-\sin t$$ である。極座標表示$x=r\cos t$, $y=r\sin t$では、速さの2乗は $${\left({\displaystyle \frac{dx}{dt}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dt}}\right)}^2=r^2+(r^{\mathrm{\prime }}{)}^2$$ である。したがって $$r^2+(r^{\mathrm{\prime }}{)}^2=(1+\cos t{)}^2+{\sin }^{2}t=2+2\cos t$$ である。速さが1となる条件は $2+2\cos t=1$ すなわち $\cos t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。$0\leqq t\leqq 2\pi$より $$t={\displaystyle \frac{2\pi }{3}},{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$$ である。

(2)
道のりは $${\int }_0^{2\pi }\sqrt{2+2\cos t}dt$$ である。半角公式より $$2+2\cos t=4{\cos }^2{\displaystyle \frac{t}{2}}$$ なので $$\sqrt{2+2\cos t}=2\mid \cos {\displaystyle \frac{t}{2}}\mid$$ である。$0\leqq t\leqq 2\pi$では$0\leqq t\mathrm{/}2\leqq \pi$だから $${\int }_0^{2\pi }2\mid \cos {\displaystyle \frac{t}{2}}\mid dt=4{\int }_0^{\pi }\mathrm{\mid }\cos u\mathrm{\mid }du=8$$ である。

(3)
$0\leqq t\leqq \pi \mathrm{/}2$では、求める図形の面積は極座標の面積公式により $$S={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(1+\cos t{)}^{2}dt$$ である。展開すると $$(1+\cos t{)}^2=1+2\cos t+{\cos }^{2}t$$ であり $${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{2}tdt={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{3\pi }{8}}}\end{array}$$である。

極座標の公式を引用せず、$x=(1+\cos t)\cos t$, $y=(1+\cos t)\sin t$ を直接微分する。道のりは速度の半角表示、面積は境界積分 $$\int xdy$$ で求める。

$c=\cos t,s=\sin t$ と書く。

(1) $$x^{\mathrm{\prime }}=-s(1+2c),y^{\mathrm{\prime }}=c+\cos 2t\mathrm{.}$$展開して整理すると$$(x^{\mathrm{\prime }}{)}^2+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2=2+2\cos t\mathrm{.}$$従って速さ1の条件は $\cos t=-1\mathrm{/}2$ であり$$t={\displaystyle \frac{2\pi }{3}},{\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\mathrm{.}$$(2)$$\sqrt{(x^{\mathrm{\prime }}{)}^2+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2}=2\mid \cos {\displaystyle \frac{t}{2}}\mid \mathrm{.}$$よって$${\int }_0^{2\pi }2\mid \cos {\displaystyle \frac{t}{2}}\mid dt=4{\int }_0^{\pi }\mathrm{\mid }\cos u\mathrm{\mid }du=8.$$(3)
曲線を $t=0$ から $t=\pi \mathrm{/}2$ へ進み、座標軸で閉じる向きは反時計回りである。座標軸上では $xdy=0$ だから$$S={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}x(t)y^{\mathrm{\prime }}(t)dt\mathrm{.}$$ここで$$x=(1+c)c,y^{\mathrm{\prime }}=c+\cos 2t$$より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\{c^2+c^3+c\cos 2t+c^2\cos 2t\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{\pi }{8}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{3\pi }{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$\Needspace{8cm}