九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$x=\sin t-t\cos t,y=\cos t+t\sin t$$ を微分すると $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=\cos t-(\cos t-t\sin t)=t\sin t$$ であり、$${\displaystyle \frac{dy}{dt}}=-\sin t+(\sin t+t\cos t)=t\cos t$$ である。したがって曲線の長さは$${\int }_0^{\pi }\sqrt{(t\sin t{)}^2+(t\cos t{)}^2}dt={\int }_0^{\pi }tdt={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}}$$である。

(2)

点 $P$ における接線方向ベクトルは $(t\sin t,t\cos t)$ である。$t=0$ では極限として考えればよく、$0<t\leqq \pi$ ではこれに垂直な直線、すなわち法線は $$\sin t\{X-(\sin t-t\cos t)\}+\cos t\{Y-(\cos t+t\sin t)\}=0$$ である。整理すると $X\sin t+Y\cos t=1$ となる。

この直線の法線ベクトル $(\sin t,\cos t)$ は長さ1であるから、原点からこの直線に下ろした垂線の足は $(\sin t,\cos t)$ である。したがって求める点の軌跡は $$X^2+Y^2=1,X\geqq 0$$ で表される右半円である。

(3)

部分積分により$${\int }_0^{\pi }t\sin 2tdt={[-{\displaystyle \frac{t\cos 2t}{2}}]}_0^{\pi }+\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }\cos 2tdt\mathrm{.}$$第2項は0であり、$\cos 2\pi =1$ だから $${\int }_0^{\pi }t\sin 2tdt=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。

(4) $0\leqq t\leqq \pi$ では $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=t\sin t\geqq 0$$ である。したがって求める面積は、曲線の $y$ 座標と直線 $y=-1$ の差を $x$ について積分して $$S={\int }_0^{\pi }(y+1){\displaystyle \frac{dx}{dt}}dt$$ と表せる。よって $$S={\int }_0^{\pi }(\cos t+t\sin t+1)t\sin tdt$$ である。

ここで $${\int }_0^{\pi }t\sin tdt=\pi$$ であり、また(3)より$${\int }_0^{\pi }t\sin t\cos tdt=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }t\sin 2tdt=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$である。さらに$${\int }_0^{\pi }{t}^2{\sin }^{2}tdt=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }{t}^{2}dt-\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }{t}^2\cos 2tdt\mathrm{.}$$部分積分と(3)から$${\int }_0^{\pi }{t}^2\cos 2tdt={\left[{\displaystyle \frac{t^2\sin 2t}{2}}\right]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }t\sin 2tdt={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$である。したがって $${\int }_0^{\pi }{t}^2{\sin }^{2}tdt={\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ である。

以上より$$S=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+({\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+\pi ={\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$である。

曲線 $C$ と右半円 $x^2+y^2=1$

曲線を単位円の伸開線として読む。位置ベクトルを単位円上の点とその接線方向に分解すると、法線への垂線の足が単位円上へ戻ることが直ちに分かる。弧長と面積は同じ分解から積分する。

$$Q(t)=(\sin t,\cos t),N(t)=(-\cos t,\sin t)$$とおくと$$P(t)=Q(t)+tN(t)$$が曲線 $C$ の点である。また$$P^{\mathrm{\prime }}(t)=tQ(t)\mathrm{.}$$(1)

$\mathrm{\mid }{P}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\mid }=t$ なので、弧長は$${\int }_0^{\pi }tdt={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}}\mathrm{.}$$(2)

$P^{\mathrm{\prime }}(t)$ は $Q(t)$ の方向であるから、$P$ における法線は $N(t)$ の方向である。法線上の点は$$P(t)+\lambda N(t)=Q(t)+(t+\lambda )N(t)\mathrm{.}$$$Q(t)\perp N(t)$ なので、原点に最も近いのは $\lambda =-t$ のときの $Q(t)$ である。$0\leqq t\leqq \pi$ より、その軌跡は$$x^2+y^2=1,x\geqq 0$$という右半円である。

(3)

部分積分により$${\int }_0^{\pi }t\sin 2tdt={[-{\displaystyle \frac{t\cos 2t}{2}}]}_0^{\pi }+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }\cos 2tdt=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$(4)

$dx=t\sin tdt$ であり、領域の上端は $y=\cos t+t\sin t$、下端は $y=-1$ である。よって$$S={\int }_0^{\pi }(1+\cos t+t\sin t)t\sin tdt\mathrm{.}$$3項を分け、(3)と部分積分を用いると$${\int }_0^{\pi }t\sin tdt=\pi ,$$$${\int }_0^{\pi }t\sin t\cos tdt=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}},$$$${\int }_0^{\pi }{t}^2{\sin }^{2}tdt={\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$したがって$$S={\displaystyle \frac{{\pi }^3}{6}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$