九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

例えば $f(x)=\sin 2\pi x$ とすればよい。この関数は定数関数ではなく、すべての $x$ について $$f(x+1)=\sin 2\pi (x+1)=\sin (2\pi x+2\pi )=\sin 2\pi x=f(x)$$ を満たす。

(2) $F(x)=e^{x}f(x)$ を微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{x}f(x)+e^x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x\{f^{\mathrm{\prime }}(x)+f(x)\}$$ である。$e^x>0$ であり、条件(B)より $f^{\mathrm{\prime }}(x)+f(x)\leqq 0$ だから $F^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq 0$ である。したがって $F(x)$ は単調減少である。よって $a<b$ なら $F(a)\geqq F(b)$ である。

(3)

条件(A)より、正の整数 $n$ について $f(x+n)=f(x)$ である。したがって $$F(x+n)=e^{x+n}f(x+n)=e^n{e}^{x}f(x)=e^{n}F(x)$$ である。

(4)

(4) (i) $f(c)\geqq 0$ とする。このとき $e^c>0$ なので $F(c)=e^{c}f(c)\geqq 0$ である。一方、(2)より $F$ は単調減少だから $F(c)\geqq F(c+1)$ である。(3)より $F(c+1)=eF(c)$ なので $F(c)\geqq eF(c)$ すなわち $(e-1)F(c)\leqq 0$ である。$e-1>0$ だから $F(c)\leqq 0$ である。よって $F(c)=0$、したがって $f(c)=0$ である。

(4) (ii)

ある $c$ で $f(c)=0$ とする。このとき $F(c)=0$ であり、(3)から任意の正の整数 $n$ について $F(c+n)=e^{n}F(c)=0$ である。

まず任意の $x$ に対して、(2)の単調性と(3)を $x$ と $x+1$ に適用すると $F(x)\geqq F(x+1)=eF(x)$ である。したがって $(e-1)F(x)\leqq 0$ より $F(x)\leqq 0$ がすべての $x$ で成り立つ。

次に、任意の $x$ を固定する。十分大きい正の整数 $n$ を取れば $x<c+n$ とできる。$F$ は単調減少で、しかも $F(c+n)=0$ だから $F(x)\geqq F(c+n)=0$ である。よってすべての $x$ で $F(x)\geqq 0$ も成り立つ。以上より $F(x)=0$ がすべての $x$ で成り立つ。$e^x>0$ であるから $f(x)=0$ がすべての $x$ で成り立つ。

条件(B)を、各基準点 $c$ から測った積分因子つき関数 $e^{t}f(c+t)$ の単調性として使う。周期性で同じ値を基準点の左右へ移し、符号を両側から挟む。

(1)

例えば$$f(x)=\sin 2\pi x$$は定数関数でなく、$f(x+1)=f(x)$ を満たす。

(2) $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x\{f^{\mathrm{\prime }}(x)+f(x)\}\leqq 0$$なので $F$ は単調減少である。したがって $a<b$ なら $F(a)\geqq F(b)$ である。

(3)

周期性から $f(x+n)=f(x)$ なので$$F(x+n)=e^{x+n}f(x+n)=e^{n}F(x)\mathrm{.}$$(4)

(4) (i)

$F$ の単調性と $F(c+1)=eF(c)$ より$$F(c)\geqq eF(c)\mathrm{.}$$したがって $F(c)\leqq 0$、すなわち $f(c)\leqq 0$ である。仮定 $f(c)\geqq 0$ と合わせて $f(c)=0$ となる。

(4) (ii)

$f(c)=0$ とする。関数$$H(t)=e^{t}f(c+t)$$は $$H^{\mathrm{\prime }}(t)=e^t\{f^{\mathrm{\prime }}(c+t)+f(c+t)\}\leqq 0$$ を満たし、$H(0)=0$ である。よって $t>0$ なら $f(c+t)\leqq 0$、$t<0$ なら $f(c+t)\geqq 0$ である。

任意の $x$ に対し、周期性を使って $x+n>c$ となる整数 $n$ と $x-m<c$ となる整数 $m$ を取ると$$f(x)=f(x+n)\leqq 0,f(x)=f(x-m)\geqq 0.$$したがってすべての $x$ で $f(x)=0$ である。