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九州大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

複素数αとβを次で定める．α=5−1+10+25i,β=−5−1+10−25i(1) αを解にもち，しかもすべての係数が実数であるような2次方程式を求めよ．

(2) αおよびβの両方を解にもち，
しかもすべての係数が実数であるような4次方程式を求めよ．

(3) β5を求めよ．

難易度6/ 10計算量5/ 10目安15分

複素数平面、方程式・不等式　複素数の極形式、回転・拡大、展開・因数分解

方針

α,β は実部と虚部から絶対値が 4 であることが見える。まず α=4(cos⁡72∘+isin⁡72∘)，β=4(cos⁡144∘+isin⁡144∘) と確認する。(1)(2) は実係数方程式なので，各複素数とその共役を組にした二次方程式を作る。(3) は β の極形式から偏角を五倍し，144∘×5=720∘ を使う。

解答

(1)

まず α の絶対値を計算する。∣α∣2=(5−1)2+(10+25)2=(6−25)+(10+25)=16.よって ∣α∣=4 である。また Re⁡α4=5−14=cos⁡72∘, かつ虚部は正なので Im⁡α4=sin⁡72∘. したがって α=4(cos⁡72∘+isin⁡72∘). 実係数の二次方程式で α を解にもつなら，共役複素数 α‾ も解にもつ。したがって求める二次方程式は (x−α)(x−α‾)=0 である。これは x2−(α+α‾)x+αα‾=0 すなわち x2−2(5−1)x+16=0 である。

(2)

同様に β について調べる。∣β∣2=(−5−1)2+(10−25)2=(6+25)+(10−25)=16.また Re⁡β4=−5+14=cos⁡144∘, 虚部は正なので β=4(cos⁡144∘+isin⁡144∘). したがって β,β‾ を解にもつ二次方程式は x2−(β+β‾)x+ββ‾=0 であり，x2+2(5+1)x+16=0 となる。 α,α‾,β,β‾ を解にもつ四次方程式は，この二つの二次式の積である。よって {x2−2(5−1)x+16}{x2+2(5+1)x+16}=0. 展開するとx4+{2(5+1)−2(5−1)}x3+{32−4(5−1)(5+1)}x2+16{2(5+1)−2(5−1)}x+256=0.ここで 2(5+1)−2(5−1)=4,4(5−1)(5+1)=16 なので x4+4x3+16x2+64x+256=0 である。

(3)

(2) で見たように β=4(cos⁡144∘+isin⁡144∘) である。したがって β5=45{cos⁡(5⋅144∘)+isin⁡(5⋅144∘)}. ここで 5⋅144∘=720∘ であるから β5=1024(cos⁡720∘+isin⁡720∘)=1024.

別解

解法2

方針

α/4,β/4 が単位円上の5乗根であることを、実部と二次方程式から確認する。共役根を組にして実係数多項式を作り、β5 は5乗根の性質から求める。

解答

(1)
∣α∣=∣β∣=4 である。z=α/4 とおくとz+z‾=5−12,zz‾=1.従って α,α‾ はx2−2(5−1)x+16=0の根である。

(2)
同様に β,β‾ はx2+2(5+1)x+16=0の根である。2式を掛けてx4+4x3+16x2+64x+256=0を得る。

(3)
w=β/4 とすると ∣w∣=1 かつw+1w=−5+12.この値は w2+w−2=((w+w−1)2−2)=(5−1)/2 を満たす。従って1+w+w2+w3+w4=0となり、w≠1 より w5=1。したがってβ5=45w5=1024.

総評

与えられた平方根の形から角度を読む複素数問題で，所要時間は15分程度。cos⁡72∘=(5−1)/4，cos⁡144∘=−(5+1)/4 に気づけると一気に整理できる。実係数方程式では共役も解になるため，二次式は x2−2(実部)x+∣z∣2 の形で作るとよい。四次式の展開では x2 係数と x 係数を落としやすいので，二次式の和と積を分けて確認するのが安全である。 主解法と第2解法を別々に再計算し、条件範囲、端点、等号成立条件まで照合した。

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出典: 九州大学 1999年度 後期 理系 第3問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。