九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 指数・対数・積分理系数学 第5問(b)

(1) $$f(x)=e^x-(1+x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2)$$ とおく。$f(0)=0$ であり、$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x-1-x,f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^x-1$$ である。$0<x<1$ では $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ なので $f^{\mathrm{\prime }}(x)>f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ であり、さらに $f(x)>f(0)=0$ である。よって $f(x)>0$ である。

次に $h(x)=x^3-f(x)$ とおく。すると $h(0)=h^{\mathrm{\prime }}(0)=h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0$ であり、$h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6-e^x$ である。$0<x<1$ では $e^x<e<3$ としてよいから $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$ である。したがって $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0$、$h^{\mathrm{\prime }}(x)>0$、$h(x)>0$ が順に従う。よって $f(x)<x^3$ である。以上より $0<f(x)<x^3(0<x<1)$ が示された。 $x=1\mathrm{/}n$ とすると $$0<n^{2}f\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)<n^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{n^3}}={\displaystyle \frac{1}{n}}$$ である。はさみうちの原理より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{2}f\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)=0$$である。

(2)

左端を高さにする長方形和は$$K_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}{e}^{j\mathrm{/}n}$$である。これは等比数列の和なので $$K_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{e-1}{e^{1\mathrm{/}n}-1}}=(e-1){\displaystyle \frac{1\mathrm{/}n}{e^{1\mathrm{/}n}-1}}$$ である。一方$${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$$である。

(1) より、$h=1\mathrm{/}n$ とおくと $$e^h=1+h+{\displaystyle \frac{1}{2}}{h}^2+{\epsilon }_n$$ で、$n^2{\epsilon }_n\to 0$ である。すなわち ${\epsilon }_n=o(1\mathrm{/}{n}^2)$ である。したがって $$e^{1\mathrm{/}n}-1={\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{2n^2}}+{\epsilon }_n$$ であり、$${\displaystyle \frac{1\mathrm{/}n}{e^{1\mathrm{/}n}-1}}={\displaystyle \frac{1}{1+1\mathrm{/}(2n)+n{\epsilon }_n}}$$ となる。ここで $n{\epsilon }_n\to 0$ だから$$1-{\displaystyle \frac{1\mathrm{/}n}{e^{1\mathrm{/}n}-1}}={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}(2n)+n{\epsilon }_n}{1+1\mathrm{/}(2n)+n{\epsilon }_n}}$$である。両辺に $n$ を掛けると $$n(1-{\displaystyle \frac{1\mathrm{/}n}{e^{1\mathrm{/}n}-1}})\to {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

よって$$n({\int }_0^1{e}^{x}dx-K_n)=(e-1)n(1-{\displaystyle \frac{1\mathrm{/}n}{e^{1\mathrm{/}n}-1}})\to {\displaystyle \frac{e-1}{2}}$$である。極限値は正の有限値なので、$k=1$ では有限値に収束する。一方、$k=2$ では上の差にさらに $n$ を掛けることになり無限大へ発散する。したがって最大の自然数は $k=1$ で、そのときの極限値は ${\displaystyle \frac{e-1}{2}}$ である。

(1) では $e^x-1$ の上下評価を積分して2次近似の誤差を挟む。
(2)では等比数列の厳密式に
$e^{1\mathrm{/}n}=1+1\mathrm{/}n+1\mathrm{/}(2n^2)+{\epsilon }_n$ を代入し、
分母を払った式のまま極限を取る。

(1)
$f(0)=f^{\mathrm{\prime }}(0)=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=0$、$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^x>0$ なので、
順に積分して $f(x)>0$ を得る。
一方 $0<x<1$ では $e^x<e<3$ だから$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<3<6=(x^3{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$$f$ と $x^3$ は0で2階微分まで一致するので、
この不等式を3回積分して $f(x)<x^3$ を得る。
よって$$0<n^{2}f\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)<{\displaystyle \frac{1}{n}},$$したがって極限は0である。

(2) $$K_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}{e}^{j\mathrm{/}n}={\displaystyle \frac{e-1}{n(e^{1\mathrm{/}n}-1)}}\mathrm{.}$$${\epsilon }_n=f(1\mathrm{/}n)$ とおけば(1)より
$n^2{\epsilon }_n\to 0$ で、$$e^{1\mathrm{/}n}-1={\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{1}{2n^2}}+{\epsilon }_n\mathrm{.}$$したがって$$n\{(e-1)-K_n\}=(e-1){\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}+n^2{\epsilon }_n}{1+{\displaystyle \frac{1}{2n}}+n{\epsilon }_n}}⟶{\displaystyle \frac{e-1}{2}}\mathrm{.}$$誤差は正であるから絶対値を付けても同じである。
$k=1$ で正の有限値へ収束し、$k\geqq 2$ ならさらに
$n^{k-1}$ を掛けるため発散する。よって$$k=1,\text{極限値 }{\displaystyle \frac{e-1}{2}}\mathrm{.}$$