九州大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $z=x+yi$ とおく。ただし $z\mathrm{\ne }b$ である。このとき $${\displaystyle \frac{1}{z-b}}={\displaystyle \frac{1}{x-b+yi}}={\displaystyle \frac{x-b-yi}{(x-b{)}^2+y^2}}$$ である。したがって $w=z-a+{\displaystyle \frac{1}{z-b}}$ の虚部は $y-{\displaystyle \frac{y}{(x-b{)}^2+y^2}}$ である。これが0となる条件は $$y(1-{\displaystyle \frac{1}{(x-b{)}^2+y^2}})=0$$ である。よって $y=0$ または $(x-b{)}^2+y^2=1$ である。

したがって求める集合は、実軸上の点全体から $z=b$ を除いたものと、中心 $(b,0)$、半径1の円である。ただし式 $w$ は $z=b$ では定義されないので、その点は除く。

(2) $w=0$ は $z-a+{\displaystyle \frac{1}{z-b}}=0$ である。両辺に $z-b$ を掛けると $(z-a)(z-b)+1=0$ すなわち $z^2-(a+b)z+ab+1=0$ である。根を $\alpha ,\beta$ とすると、解と係数の関係より $$\alpha +\beta =a+b,\alpha \beta =ab+1$$ である。

係数は実数なので、虚数解が現れるときは共役な2根である。三角形 $OPQ$ が正三角形であるためには、$\alpha ,\beta$ は原点から同じ距離にあり、実軸に関して対称で、なす角が ${60}^{\circ }$ でなければならない。原点からの距離を $\rho$ とすると $$\alpha \beta =\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2={\rho }^2$$ であり、また2点の実部は $\rho \cos {30}^{\circ }$ なので $$\alpha +\beta =2\rho \cos {30}^{\circ }=\sqrt{3}\rho$$ である。したがって $$a+b=\sqrt{3}\rho ,ab+1=h{o}^2$$ となる。これより $(a+b{)}^2=3(ab+1)$ である。整理すると $a^2-ab+b^2=3$ を得る。 $a,b$ は正の整数である。もし $a\geqq 3$ または $b\geqq 3$ なら左辺は3を超えるので、候補は $1,2$ の範囲に限られる。実際に調べると$$(1,1)\Rightarrow 1,(1,2)\Rightarrow 3,(2,1)\Rightarrow 3,(2,2)\Rightarrow 4$$である。よって求める値は $(a,b)=(1,2),(2,1)$ である。

$w=0$ の2根をVietaの公式で扱い、正三角形の2頂点を
$\rho e^{\pm i\pi \mathrm{/}6}$ と表す。整数条件は正定値二次式の小さな値の探索になる。

(1)
$z=x+yi$ とおくと$$\mathrm{Im}w=y-{\displaystyle \frac{y}{(x-b{)}^2+y^2}}\mathrm{.}$$従って$$y=0\text{または}(x-b{)}^2+y^2=1.$$ただし $z=b$ は除く。よって実軸と、中心 $b$、半径1の円が求める集合である。

(2)
$w=0$ は$$z^2-(a+b)z+ab+1=0.$$正三角形の2頂点は、正の実軸に関して対称なので、ある $\rho >0$ を用いて$$\alpha =\rho e^{i\pi \mathrm{/}6},\beta =\rho e^{-i\pi \mathrm{/}6}$$と書ける。Vietaの公式から$$a+b=\sqrt{3}\rho ,ab+1={\rho }^2\mathrm{.}$$従って$$(a+b{)}^2=3(ab+1),a^2-ab+b^2=3.$$左辺は$${(a-{\displaystyle \frac{b}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{3}{4}}{b}^2$$なので $a,b\leqq 2$ だけを調べればよい。正の整数解は$$(a,b)=(1,2),(2,1)$$であり、どちらも元の条件を満たす。