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九州大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・図形と方程式文系数学 第4問(b)

次の問いに答えよ．

(1) 複素数α，β，γ，δは
α≠β，γ≠δをみたすとする．
複素数平面上の2点α，βを通る直線が，
2点γ，δを通る直線と直交するための必要十分条件は，
複素数α−βγ−δが純虚数であることを示せ．

複素数平面上の原点を中心とする半径1の円C上に相異なる3点z1, z2, z3をとる．
次の問いに答えよ．

(2) w1=z1+z2+z3とおく．
点w1は3点z1, z2, z3を頂点とする三角形の垂心になることを示せ．
ここで，三角形の垂心とは，各頂点から対辺またはその延長線上に下ろした3本の垂線の交点のことであり，これらの3本の垂線は1点で交わることが知られている．

(3) w2=−z1‾z2z3とおく．
w2≠z1のとき，
2点z2, z3を通る直線上に点z1から下ろした垂線またはその延長線が円Cと交わる点はw2であることを示せ．
ここでz1‾はz1に共役な複素数である．

難易度7/ 10計算量6/ 10目安25分

複素数平面、図形と方程式　実部虚部比較、図形的解釈、円の性質

方針

(1) は直線の方向を表す複素数の商を見る。商が純虚数であることは、2つの方向の偏角差が直角であることを意味する。(2)(3) では単位円上の点について z‾=1/z が成り立つことを使い、垂線条件を「商が純虚数」として直接確認する。w1 については (w1−z1)/(z3−z2)=(z2+z3)/(z3−z2) の共役が負になること、w2 については円上にあることと同じ垂線条件を示す。

解答

(1) 2点 α,β を通る直線の方向は複素数 α−β で表される。同様に、2点 γ,δ を通る直線の方向は γ−δ で表される。

2直線が直交することは、これら2つの方向の偏角の差が 90∘ であることと同値である。したがって α−βγ−δ の偏角が 90∘ または 270∘ であることと同値であり、これはこの複素数が純虚数であることにほかならない。よって必要十分条件が示された。

(2) 単位円上の点については zj‾=1zj(j=1,2,3) が成り立つ。

点 z1 から直線 z2z3 に下ろした垂線上に点 z があることは、(1) より z−z1z3−z2 が純虚数であることと同値である。z=w1=z1+z2+z3 とすると w1−z1z3−z2=z2+z3z3−z2 である。この共役を取ると(z2+z3z3−z2)‾=1/z2+1/z31/z3−1/z2=z2+z3z2−z3=−z2+z3z3−z2である。したがってこの商は純虚数であり、w1 は z1 から辺 z2z3 へ下ろした垂線上にある。

同じ計算を添字を入れ替えて行えば、w1 は他の頂点から対辺に下ろした垂線上にもある。よって w1=z1+z2+z3 は三角形 z1z2z3 の垂心 である。

(3) まず ∣w2∣=∣−z1‾z2z3∣=1 であるから、w2 は円 C 上にある。

次に、w2 が z1 から直線 z2z3 に下ろした垂線上にあることを示す。w2=−z1‾z2z3 と z1‾=1/z1 より w2−z1z3−z2=−z2z3+z12z1(z3−z2) である。この共役は z12+z2z3z1(z3−z2) となり、もとの商の負である。したがって w2−z1z3−z2 は純虚数である。

よって w2 は、点 z1 から直線 z2z3 に下ろした垂線上にあり、かつ円 C 上にある。w2≠z1 であるから、求めるもう一つの交点は w2=−z1‾z2z3 である。

別解

解法2（偏角と弦の方向）

方針

単位円上の点を zj=eiθj と表す。2点の和は弦に垂直な方向、
2点の差は弦方向を表すことを使い、複素共役の計算を避けて幾何的に示す。

解答

(1)
2直線の方向角をそれぞれ ϕ,ψ とする。方向を表す複素数の比は
正の実数倍を除いて ei(ϕ−ψ) である。したがって2直線が直交する
ことと、この比の偏角が π/2 の奇数倍、すなわち純虚数であることは同値である。

(2)
zj=eiθj と書くとz2+z3=2cos⁡θ2−θ32ei(θ2+θ3)/2.一方、弦 z2z3 の方向角はθ2+θ32+π2( mod  π)である。よって w1−z1=z2+z3 は弦 z2z3 に垂直である。
添字を巡回させれば w1 は3本の高さ上にあり、垂心である。

(3) w2=−z1‾z2z3=ei(θ2+θ3−θ1+π)だから ∣w2∣=1 である。弦 z1w2 の方向角は、両端の偏角の平均に
π/2 を加えたものなのでθ1+θ2+θ3−θ1+π2+π2≡θ2+θ32(modπ).これは弦 z2z3 に垂直な方向である。したがって w2 は
z1 を通るその垂線上かつ円 C 上にある。
w2≠z1 なら、求めるもう一つの交点は w2 である。

総評

難度7、計算量6。目安時間は
26〜30分。
主題は複素数平面・図形と方程式である。解法1では誘導に沿った標準的な答案を、解法2では
異なる見方から全小問を再構成した。採点では、途中の必要条件を十分条件まで戻すこと、
場合分けの境界・等号条件・定義域を明記することが重要である。

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出典: 九州大学 2002年度 前期 文系 第4問(b)（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。