九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・図形と方程式文系数学 第4問(a)

(1) $a\mathrm{\ne }0$ とする。与式 $$az\bar{z}+\bar{b}z+b\bar{z}+c=0$$ の両辺に $a$ を掛けると $$a^{2}z\bar{z}+a\bar{b}z+ab\bar{z}+ac=0$$ である。左辺のはじめの3項は $(az+b)(a\bar{z}+\bar{b})-\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2$ に等しいので $\mathrm{\mid }az+b{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2-ac$ を得る。

仮定より右辺は正である。さらに $$\mathrm{\mid }az+b\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\mid z+{\displaystyle \frac{b}{a}}\mid$$ だから、点 $z$ は $$\mid z+{\displaystyle \frac{b}{a}}\mid ={\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2-ac}}{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}}$$ を満たす。したがって図形は $\text{中心 }-{\displaystyle \frac{b}{a}},\text{半径 }{\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2-ac}}{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}}$ の円である。

(2) $z(\bar{z}+1)$ の共役は $\bar{z}(z+1)$ である。したがって与式 $$dz(\bar{z}+1)=\bar{d}\bar{z}(z+1)$$ は、$dz(\bar{z}+1)$ がその共役に等しい、すなわち実数であることと同値である。 $d=u+vi$、$z=x+yi$ とおく。すると $$z(\bar{z}+1)=x^2+y^2+x+yi$$ であるから、$dz(\bar{z}+1)$ の虚部は $uy+v(x^2+y^2+x)$ である。よって条件は $uy+v(x^2+y^2+x)=0$ である。

もし $v=0$ なら、$d\mathrm{\ne }0$ より $u\mathrm{\ne }0$ なので $y=0$ となる。したがって図形は実軸である。

もし $v\mathrm{\ne }0$ なら $$x^2+y^2+x+{\displaystyle \frac{u}{v}}y=0$$ である。これは円の方程式であり、$(0,0)$ と $(-1,0)$ を通る。したがって図形は原点と $-1$ を通る円である。

$z=x+yi$、$b=u+vi$、$d=\lambda +\mu i$ と置き、
実部・虚部へ完全に展開する。複素数の幾何を使わず、
2次方程式の平方完成だけで直線または円を得る。

(1)
$z=x+yi,b=u+vi$ とおくと$$a(x^2+y^2)+2ux+2vy+c=0.$$$a\mathrm{\ne }0$ なので平方完成して$${(x+{\displaystyle \frac{u}{a}})}^2+{(y+{\displaystyle \frac{v}{a}})}^2={\displaystyle \frac{u^2+v^2-ac}{a^2}}\mathrm{.}$$右辺は正である。よって中心 $-b\mathrm{/}a$、半径$${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2-ac}}{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}}$$の円である。

(2)
$d=\lambda +\mu i$、$z=x+yi$ とする。
与式は $dz(\bar{z}+1)$ の虚部が0であることと同値である。$$z(\bar{z}+1)=x^2+y^2+x+yi$$だから$$\lambda y+\mu (x^2+y^2+x)=0.$$$\mu =0$ なら $d\mathrm{\ne }0$ より $\lambda \mathrm{\ne }0$ であり、軌跡は $y=0$、
すなわち実軸である。$\mu \mathrm{\ne }0$ なら$${(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{(y+{\displaystyle \frac{\lambda }{2\mu }})}^2={\displaystyle \frac{{\lambda }^2+{\mu }^2}{4{\mu }^2}}\mathrm{.}$$したがって原点と $(-1,0)$ を通る円である。