九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・図形と方程式理系数学 第4問(a)

(1) $a\mathrm{\ne }0$ とする。与式 $$az\bar{z}+\bar{b}z+b\bar{z}+c=0$$ を平方完成すると $\mathrm{\mid }az+b{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2-ac$ となる。仮定より右辺は正であるから $$\mid z+{\displaystyle \frac{b}{a}}\mid ={\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2-ac}}{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}}$$ である。したがって点 $z$ の描く図形は $\text{中心 }-{\displaystyle \frac{b}{a}},\text{半径 }{\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2-ac}}{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}}$ の円である。

(2) $(z-p)(\bar{z}-\bar{q})$ の共役は $$(\bar{z}-\bar{p})(z-q)=(z-q)(\bar{z}-\bar{p})$$ である。したがって与式は $d(z-p)(\bar{z}-\bar{q})$ が実数であることと同値である。 $z\mathrm{\ne }q$ のとき、両辺を $\mathrm{\mid }z-q{\mathrm{\mid }}^2$ で割ると $d{\displaystyle \frac{z-p}{z-q}}$ が実数である、という条件になる。これは $(z-p)\mathrm{/}(z-q)$ の偏角が一定であることを表す。すなわち、点 $z$ から2点 $p,q$ を見る角が一定である。 $d$ が実数のときは、$(z-p)\mathrm{/}(z-q)$ も実数である。これは $z,p,q$ が一直線上にあることを意味する。したがって図形は2点 $p,q$ を通る直線である。 $d$ が実数でないときは、点 $p,q$ を見込む角が0でも $\pi$ でもない一定角である。一定の角で線分 $pq$ を見込む点の軌跡は、$p,q$ を通る円である。なお $z=p$ と $z=q$ も元の方程式を満たすので、円は2点 $p,q$ を通る。

よって、$d$ が実数なら2点 $p,q$ を通る直線、$d$ が実数でないなら2点 $p,q$ を通る円である。

(2) で $w=(z-p)\mathrm{/}(q-p)=X+iY$ と正規化し、
2点 $p,q$ を $0,1$ へ移す。実部・虚部の方程式を平方完成すれば、
$d$ の実部・虚部から直線と円を明示できる。

(1)
両辺を $a$ 倍して$$\mathrm{\mid }az+b{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2-ac$$とする。右辺は正だから$$\mid z+{\displaystyle \frac{b}{a}}\mid ={\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^2-ac}}{\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }}}$$であり、中心 $-b\mathrm{/}a$ の円である。

(2)
$q-p\mathrm{\ne }0$ なので$$w={\displaystyle \frac{z-p}{q-p}}=X+iY$$とおく。また $d=u+vi$ とする。元の式は
$dw(\bar{w}-1)$ が実数であることと同値である。$$w(\bar{w}-1)=X^2-X+Y^2-iY$$だから条件は$$v(X^2-X+Y^2)-uY=0.$$$v=0$ なら $u\mathrm{\ne }0$ より $Y=0$ である。
これは $z,p,q$ が一直線上にある条件で、軌跡は直線 $pq$ である。

$v\mathrm{\ne }0$ なら$${(X-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{(Y-{\displaystyle \frac{u}{2v}})}^2={\displaystyle \frac{u^2+v^2}{4v^2}}\mathrm{.}$$これは $w=0,1$、したがって $z=p,q$ を通る円である。