九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 行列（問題が明示的に行列を扱う場合、または出題範囲が許す場合のみ）・整数理系数学 第5問(c)

(1)

連立方程式は$$\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ 2& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$$と表される。係数行列を $A$ とすると$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ 2& 6\end{array}\right)$$であり、行列式は $4\cdot 6-9\cdot 2=6$ である。したがって逆行列は$$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}6& -9\\ -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)$$である。

(2)

(1) より$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$$である。すなわち $$x=p-{\displaystyle \frac{3}{2}}q,y={\displaystyle \frac{-p+2q}{3}}$$ である。 $x$ が整数となるためには $q$ が偶数であることが必要十分である。また $y$ が整数となるためには $-p+2q\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ すなわち $p\equiv 2q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であることが必要十分である。 $0\leqq q\leqq 5$ で偶数のものは $q=0,2,4$ である。それぞれについて $0\leqq p\leqq 5$ の範囲で調べると、$q=0:p=0,3$ $$q=2:p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),p=1,4$$ $$q=4:p\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),p=2,5$$ である。したがって求める組は $$(p,q)=(0,0),(3,0),(1,2),(4,2),(2,4),(5,4)$$ である。

(3)

たとえば $d=6$ とする。$p,q$ がともに6の倍数なら、$q$ は偶数であり、また $p\equiv 0,2q\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ なので $p\equiv 2q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ も成り立つ。したがって(2)で得た整数条件を満たし、解 $x,y$ はともに整数である。よって条件を満たす正の整数 $d$ は存在する。

(4)

条件を満たす $d$ を考える。まず $p=d,q=0$ は $d$ の倍数の組である。このとき $$y={\displaystyle \frac{-d}{3}}$$ が整数でなければならないので、$d$ は3の倍数である。

次に $p=0,q=d$ とすると $x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}d$ が整数でなければならない。したがって $d$ は2の倍数である。

よって $d$ は2の倍数かつ3の倍数、すなわち6の倍数でなければならない。(3)で $d=6$ が条件を満たすことを示したので、最小のものは $d=6$ である。

逆行列とは別に、2本の式を加減して $x,y$ を消去法で求める。
そこから偶奇と3による剰余条件を読み、必要な周期を
特別な右辺 $(d,0),(0,d)$ で決定する。

(1) $$\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ 2& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right),A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}6& -9\\ -2& 4\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)
第1式から第2式を2倍したものを引くと $-3y=p-2q$ なので$$y={\displaystyle \frac{-p+2q}{3}}\mathrm{.}$$これを第2式へ戻すと$$x=p-{\displaystyle \frac{3}{2}}q\mathrm{.}$$よって $q$ は偶数、かつ $p\equiv 2q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ が必要十分である。
$q=0,2,4$ を順に調べて$$(p,q)=(0,0),(3,0),(1,2),(4,2),(2,4),(5,4)\mathrm{.}$$(3)
$d=6$ とすれば、$p,q$ がその倍数のとき
$q$ は偶数で $p-2q$ は3の倍数である。
よって常に $x,y$ は整数となり、条件を満たす $d$ は存在する。

(4)
$(p,q)=(d,0)$ から $y=-d\mathrm{/}3$ が整数なので $3\mid d$。
$(p,q)=(0,d)$ から $x=-3d\mathrm{/}2$ が整数なので $2\mid d$。
よって $6\mid d$ が必要で、(3)より $d=6$ は十分である。
最小値は6である。