九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 行列（問題が明示的に行列を扱う場合、または出題範囲が許す場合のみ）・図形と方程式理系数学 第5問(a)

(1) $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$より$$Q=(1+2a+b,-1+a+2b),R=(1,-1)$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{R{Q}^2}{O{P}^2}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(2a+b{)}^2+(a+2b{)}^2}{a^2+b^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9-{\displaystyle \frac{4(a-b{)}^2}{a^2+b^2}}\leqq 9.}\end{array}$$等号は $a=b$ のときに限る。よって最大値は $3$ であり、最大値を与える点は$$a=b,0<\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$を満たす線分上の点、すなわち原点を除く$$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{ と }({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$を結ぶ線分である。

(2) $$u=a+b,v=a-b$$とおく。条件 $$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ は$$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\leqq 1$$と同値である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle O{Q}^2}& {\displaystyle =(1+2a+b{)}^2+(-1+a+2b{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+2v+{\displaystyle \frac{9u^2+v^2}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9}{2}}{u}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}(v+2{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$固定した $v$ に対しては $u=0$ で最小である。さらに $-1\leqq v\leqq 1$ では
${\displaystyle \frac{1}{2}}(v+2{)}^2$ は $v=-1$ で最小となる。よって$$u=0,v=-1$$すなわち$$P(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$のとき$$\min O{Q}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$\min OQ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$

$(1,1)$ 方向と $(1,-1)$ 方向へ分解する。線形変換の伸び率がそれぞれ3と1であることから比の最大値を出し、同じ座標で $O{Q}^2$ も最小化する。

(1) $$u=a+b,v=a-b$$とおくと$$O{P}^2={\displaystyle \frac{u^2+v^2}{2}},R{Q}^2={\displaystyle \frac{9u^2+v^2}{2}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{R{Q}^2}{O{P}^2}}={\displaystyle \frac{9u^2+v^2}{u^2+v^2}}\leqq 9.$$等号は $v=0$、すなわち $a=b$ のときである。指定された正方形内で原点を
除いた対角線上が等号点で、最大値は $3$ である。

(2)
また$$O{Q}^2={\displaystyle \frac{9}{2}}{u}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}(v+2{)}^2,\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\leqq 1.$$最小化にはまず $u=0$ とすればよい。そのとき $-1\leqq v\leqq 1$ であり、
$(v+2{)}^2$ は $v=-1$ で最小である。ゆえに$$(u,v)=(0,-1)$$すなわち$$P(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),\min OQ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$