九州大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 行列（問題が明示的に行列を扱う場合、または出題範囲が許す場合のみ）理系数学 第5問(c)

(1) $ad-bc\mathrm{\ne }0$ であるから、$A$ には逆行列が存在する。$A^2=A$ の両辺に左から $A^{-1}$ を掛けると $A=E$ である。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。

(2) $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$とする。$A^2=A$ を成分で書くと$$\{\begin{array}{l}{a}^2+bc=a,\\ b(a+d)=b,\\ c(a+d)=c,\\ d^2+bc=d\end{array}$$である。また仮定より $ad-bc=0$ すなわち $bc=ad$ である。

これを上の4式に代入して整理すると$$\{\begin{array}{l}a(a+d-1)=0,\\ b(a+d-1)=0,\\ c(a+d-1)=0,\\ d(a+d-1)=0\end{array}$$となる。 $A$ がべき等行列なら、定義より零行列ではない。したがって $a,b,c,d$ の少なくとも1つは0でないので、上の4式から $a+d-1=0$ が必要である。すなわち $a+d=1$ である。

逆に、$ad-bc=0$ かつ $a+d=1$ とする。このとき $bc=ad$ であり $a^2+bc=a^2+ad=a(a+d)=a$ である。同様に $$b(a+d)=b,c(a+d)=c,d^2+bc=d^2+ad=d(a+d)=d$$ となるから $A^2=A$ が成り立つ。また $a+d=1$ なので零行列ではない。

よって必要十分条件は $a+d=1$ である。

(3)

まず(1)(2)から、べき等行列の対角成分の和を調べる。行列が $E$ なら対角成分の和は $2$ である。$E$ でないべき等行列は、(1)より行列式が0であり、(2)より対角成分の和は $1$ である。

ここで、もし $A=E$ なら $$(A+B{)}^2=(E+B{)}^2=E+2B+B^2=E+3B$$ である。一方 $A+B=E+B$ なので、$A+B$ がべき等行列なら $E+3B=E+B$ となり $B=0$ を得る。これは $B$ がべき等行列であることに反する。したがって $A\mathrm{\ne }E$ である。同様に $B\mathrm{\ne }E$ である。

よって $A$ と $B$ はどちらも対角成分の和が $1$ である。したがって $A+B$ の対角成分の和は $2$ である。 $A+B$ はべき等行列である。もし $A+B\mathrm{\ne }E$ なら、上で見た分類により対角成分の和は $1$ でなければならない。しかし実際には $2$ であるから矛盾する。したがって $A+B=E$ である。

実際にそのような例として$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$を取れば、$A^2=A$、$B^2=B$、かつ $A+B=E$ である。

2次行列が満たす
$A^2-(\mathrm{tr}A)A+(\det A)E=0$ を成分計算で確認して用いる。
べき等条件と比較すると、行列式0の非零解は対角和1に分類できる。

2次行列 $A$ について成分を掛ければ$$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0$$が確かめられる。

(1)
$\det A\mathrm{\ne }0$ なら $A^2=A$ の両辺に $A^{-1}$ を掛けて$$A=E\mathrm{.}$$(2)
$\det A=0$ のとき上の恒等式は$$A^2-(a+d)A=0.$$$A^2=A$ かつ $A\mathrm{\ne }0$ であるための必要条件は$$(a+d-1)A=0,a+d=1.$$逆に $\det A=0,a+d=1$ なら恒等式から $A^2=A$ であり、
対角和が1なので零行列でもない。よって必要十分条件は $a+d=1$ である。

(3)
$A=E$ なら $(A+B{)}^2=A+B$ と $B^2=B$ から $2B=0$ となり、
$B\mathrm{\ne }0$ に反する。よって $A,B\mathrm{\ne }E$ であり、(2)から両者の対角和は1。
したがって $A+B$ の対角和は2である。

$A+B$ もべき等行列である。これが $E$ でなければ、(2)により
対角和は1でなければならず矛盾する。よって$$A+B=E\mathrm{.}$$例として$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$がある。