九州大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

与えられた積分を $I$ とおく。積分の中の式を展開するために $$A=x\cos \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$$ とおくと，被積分関数は $(yA-A^2)\cos \theta$ である。展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (yA-A^2)\cos \theta }& {\displaystyle =y(x\cos \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2)\cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -(x^2{\cos }^2\theta +x^3\cos \theta +{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4)\cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =xy{\cos }^2\theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{2}y\cos \theta -x^2{\cos }^3\theta -x^3{\cos }^2\theta -{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4\cos \theta \mathrm{.}}\end{array}$$ここで$${\int }_0^{2\pi }\cos \theta d\theta =0,{\int }_0^{2\pi }{\cos }^3\theta d\theta =0,{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta d\theta =\pi$$であるから $$I=xy\pi -x^3\pi =x(y-x^2)\pi \mathrm{.}$$ これが $2k\pi$ に等しいので，求める曲線は $x(y-x^2)=2k$ である。

(2)

まず $k=0$ のとき，曲線は $x(y-x^2)=0$ すなわち $$x=0\text{または}y=x^2$$ である。直線 $y=a$ との共有点を考えると，$a<0$ では直線 $x=0$ とだけ交わり，$a=0$ では $(0,0)$ だけを共有する。$a>0$ では $x=0$ 上の点に加えて放物線 $y=x^2$ と二点で交わる。したがって $k=0$ では共有点が一個である条件は $a\leqq 0$ である。

次に $k>0$ とする。このとき $x\mathrm{\ne }0$ であり，曲線は $$y=x^2+{\displaystyle \frac{2k}{x}}$$ と書ける。右辺を $\phi (x)$ とおくと $${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-{\displaystyle \frac{2k}{x^2}}={\displaystyle \frac{2(x^3-k)}{x^2}}\mathrm{.}$$ $x<0$ では $x^3-k<0$ なので ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。また$$\phi (x)\to \mathrm{\infty }(x\to -\mathrm{\infty }),\phi (x)\to -\mathrm{\infty }(x\to 0-)$$である。したがって左側の枝は任意の水平線 $y=a$ とちょうど一回交わる。 $x>0$ では $$x=\sqrt[3]{k}$$ で ${\phi }^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ となり，その前後で減少から増加に変わる。したがって右側の枝は $$x=\sqrt[3]{k}$$ で極小値をとる。その値は $$\phi (\sqrt[3]{k})=\sqrt[3]{k^2}+2\sqrt[3]{k^2}=3\sqrt[3]{k^2}\mathrm{.}$$ よって右側の枝との交点数は，$$a<3\sqrt[3]{k^2}$$ なら $0$ 個，等号なら接して $1$ 個，それより大きければ $2$ 個である。

左側の枝で常に一個共有点があるので，全体の共有点が一個になるのは右側の枝と交わらないときである。したがって $k>0$ では $$a<3\sqrt[3]{k^2}$$ である。

以上より$$\{\begin{array}{l}k=0\text{ のとき }a\leqq 0,\\ k>0\text{ のとき }a<3\sqrt[3]{k^2}\end{array}$$となる。

積分は余弦の1周期平均だけを残して曲線を出す。水平線との共有点は三次方程式 $x^3-ax+2k=0$ の異なる実根の個数に置き換え、極大・極小値の符号から判定する。

(1)
1周期で$${\int }_0^{2\pi }\cos \theta d\theta ={\int }_0^{2\pi }{\cos }^3\theta d\theta =0,{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta d\theta =\pi \mathrm{.}$$従って与式の左辺は$$\pi (xy-x^3)$$となり、曲線は$$x(y-x^2)=2k\mathrm{.}$$(2)
水平線 $y=a$ との共有点の $x$ 座標は$$F(x)=x^3-ax+2k=0$$の異なる実根である。

$k=0$ では $F=x(x^2-a)$ だから、異なる実根が1個なのは $a\leqq 0$。

$k>0$ とする。$a\leqq 0$ なら $F^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-a>0$ で1根。$a>0$ では正の極小点 $$x=\sqrt{a\mathrm{/}3}$$ における値は$$2k-{\displaystyle \frac{2a^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$これが正なら実根は負の1個だけである。等号では正の重根も加わるので共有点は2個となる。従って$$a<3\sqrt[3]{k^2}\mathrm{.}$$まとめると$$k=0:a\leqq 0,k>0:a<3\sqrt[3]{k^2}\mathrm{.}$$