九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 微分・図形と方程式理系数学 第5問(a)

(1)

接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(t)$ であり、角 $\theta (t)$ は $\tan \theta (t)=f^{\mathrm{\prime }}(t)$ を満たす。$-\pi \mathrm{/}2<\theta <\pi \mathrm{/}2$ なので $\cos \theta >0$ である。両辺を $t$ で微分すると $${\displaystyle \frac{{\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)}{{\cos }^2\theta (t)}}=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)$$ である。仮定より $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)>0$、また ${\cos }^2\theta (t)>0$ だから ${\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ である。したがって $\theta (t)$ はつねに増加する。

(2)

接線方向の単位ベクトルは $(\cos \theta ,\sin \theta )$ である。これに垂直で、グラフの下側へ向かう単位ベクトルは $(\sin \theta ,-\cos \theta )$ である。点 $Q$ は $P(t,f(t))$ からこの方向へ距離1だけ進んだ点なので $$Q=(t,f(t))+(\sin \theta (t),-\cos \theta (t))$$ である。したがって $$\alpha (t)=t+\sin \theta (t),\beta (t)=f(t)-\cos \theta (t)$$ である。

(3)

まず $P$ の速度ベクトルは $$P^{\mathrm{\prime }}(t)=(1,f^{\mathrm{\prime }}(t))=(1,\tan \theta )$$ である。よってその大きさは $$\mathrm{\mid }{P}^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{\mid }=\sqrt{1+{\tan }^2\theta }={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$$ である。したがって$$L_1={\int }_a^b{\displaystyle \frac{dt}{\cos \theta (t)}}$$である。

次に $$Q=P+(\sin \theta ,-\cos \theta )$$ を微分する。すると $$Q^{\mathrm{\prime }}=P^{\mathrm{\prime }}+{\theta }^{\mathrm{\prime }}(\cos \theta ,\sin \theta )$$ である。一方 $$P^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}(\cos \theta ,\sin \theta )$$ なので $$Q^{\mathrm{\prime }}=({\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}+{\theta }^{\mathrm{\prime }})(\cos \theta ,\sin \theta )$$ となる。(1)より ${\theta }^{\mathrm{\prime }}>0$ であり、$\cos \theta >0$ なので係数は正である。したがって $$\mathrm{\mid }{Q}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}+{\theta }^{\mathrm{\prime }}$$ である。

よって$$L_2={\int }_a^b({\displaystyle \frac{1}{\cos \theta (t)}}+{\theta }^{\mathrm{\prime }}(t))dt$$であり、差をとると$$L_2-L_1={\int }_a^b{\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)dt=\theta (b)-\theta (a)$$である。

点 $P$ の弧長を新しい変数 $\sigma$ とし、
単位接ベクトルと下向き単位法線を角 $\theta$ で表す。
平行曲線 $Q$ の弧長要素を $\sigma$ 上で比較する。

(1)
問題の定義より$$\tan \theta (t)=f^{\mathrm{\prime }}(t),-\frac{\pi }{2}<\theta (t)<\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$両辺を $t$ で微分すると$$\frac{{\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)}{{\cos }^2\theta (t)}=f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{.}$$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)>0$ かつ ${\cos }^2\theta (t)>0$ だから ${\theta }^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ であり、$\theta (t)$ は増加する。

(2)
単位接ベクトルは$$\mathit{T}=(\cos \theta ,\sin \theta )$$で、下向き単位法線は$$\mathit{N}=(\sin \theta ,-\cos \theta )$$である。したがって$$Q=P+\mathit{N},\alpha =t+\sin \theta ,\beta =f(t)-\cos \theta \mathrm{.}$$(3)
$P$ の弧長を $\sigma$ とするので$${\displaystyle \frac{dP}{d\sigma }}=\mathit{T}\mathrm{.}$$また$${\displaystyle \frac{d\mathit{N}}{d\sigma }}={\displaystyle \frac{d\theta }{d\sigma }}\mathit{T}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{dQ}{d\sigma }}=(1+{\displaystyle \frac{d\theta }{d\sigma }})\mathit{T}\mathrm{.}$$(1)より角は増加し、係数は正である。したがって$$d{L}_2=d\sigma +d\theta ,d{L}_1=d\sigma \mathrm{.}$$$t=a$ から $b$ まで足し合わせると$$L_2-L_1=\theta (b)-\theta (a)\mathrm{.}$$