九州大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
2次方程式 $z^2+tz+t=0$ の判別式は $D=t^2-4t=t(t-4)$ である。異なる2つの虚数解をもつための条件は $D<0$ であるから、$0<t<4$ である。このとき解の公式より、虚数解は $$z={\displaystyle \frac{-t\pm i\sqrt{4t-t^2}}{2}}={\displaystyle \frac{-t\pm i\sqrt{t(4-t)}}{2}}$$ である。

(2)
虚部が正の解を $z(t)=x+iy$ とおくと、(1) より $$x=-{\displaystyle \frac{t}{2}},y={\displaystyle \frac{\sqrt{t(4-t)}}{2}}$$ である。したがって $$x+1=1-{\displaystyle \frac{t}{2}}$$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x+1{)}^2+y^2}& {\displaystyle ={(1-{\displaystyle \frac{t}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{t(4-t)}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-t+{\displaystyle \frac{t^2}{4}}+t-{\displaystyle \frac{t^2}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1.}\end{array}$$また $0<t<4$ なので $y>0$ であり、端点 $(0,0)$、$(-2,0)$ は含まれない。よって $C$ は $$(x+1{)}^2+y^2=1,y>0$$ で表される。すなわち、中心 $(-1,0)$、半径 $1$ の円の上半分で、端点を除いた部分である。

(3)
(2) より、$C$ 上では $z+1$ が単位円の上半分を動く。そこで $$z+1=\cos \varphi +i\sin \varphi (0<\varphi <\pi )$$ とおく。このとき $z=\cos \varphi -1+i\sin \varphi$ であるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle w}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{iz}{z+1}}=i(1-{\displaystyle \frac{1}{z+1}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =i\{1-(\cos \varphi -i\sin \varphi )\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\sin \varphi +i(1-\cos \varphi )\mathrm{.}}\end{array}$$ $w=X+iY$ とおくと $$X=-\sin \varphi ,Y=1-\cos \varphi$$ である。したがって $$X^2+(Y-1{)}^2={\sin }^2\varphi +{\cos }^2\varphi =1$$ であり、$0<\varphi <\pi$ より $X<0$ である。また $\varphi =0,\pi$ は含まれないので、端点 $(0,0)$、$(0,2)$ は含まれない。

よって求める図形は $$X^2+(Y-1{)}^2=1,X<0$$ で表される。すなわち、中心 $(0,1)$、半径 $1$ の円の左半分で、端点 $(0,0),(0,2)$ を除いた部分である。

(1) ,(2) で上半円 $C$ を確定した後、(3) では分数変換を逆に解いて $z={\displaystyle \frac{w}{i-w}}$ とする。$\mathrm{\mid }z+1\mathrm{\mid }=1$ を $w$ の条件へ移し、円のどちら側の弧かを1点の対応と端点から判定する。

(1)
判別式 $t(t-4)<0$ より $0<t<4$ であり、$$z={\displaystyle \frac{-t\pm i\sqrt{t(4-t)}}{2}}\mathrm{.}$$(2)
虚部が正の解を $z=x+iy$ とすれば$$(x+1{)}^2+y^2=1,y>0.$$したがって $C$ は中心 $(-1,0)$、半径 $1$ の上半円から両端を除いた弧である。

(3)
(3) は逆に $z$ を $w$ で表しても求められる。$$w=i{\displaystyle \frac{z}{z+1}}$$ より $$w(z+1)=iz,z={\displaystyle \frac{w}{i-w}}$$ である。すると $$z+1={\displaystyle \frac{i}{i-w}}$$ となる。$z+1$ は絶対値 $1$ で虚部が正の単位円上にあるので、まず $$\mid {\displaystyle \frac{i}{i-w}}\mid =1$$ より $\mathrm{\mid }i-w\mathrm{\mid }=1$ を得る。$w=X+iY$ とすれば $X^2+(Y-1{)}^2=1$ である。さらに主解の対応、または $X=-\sin \varphi$ から、動く部分は左半分で端点を除いた弧である。