九州大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $0<\theta <\pi$ では $-1<\cos \theta <1$ であるから、$${\displaystyle \frac{3}{2}}<{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta <{\displaystyle \frac{7}{2}}$$ である。したがって $[{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta ]$ の値は $1,2,3$ のいずれかである。 ${\log }_2[{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta ]\leqq 1$ は $[{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta ]\leqq 2$ と同値である。これは ${\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta <3$ すなわち $\cos \theta <{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。よって $${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta <\pi$$ である。

(2) $[X]\geqq 1$ は $X\geqq 1$ と同値である。したがって $[{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\log }_2\sin \theta ]\geqq 1$ は ${\displaystyle \frac{3}{2}}+{\log }_2\sin \theta \geqq 1$ と同値である。よって $${\log }_2\sin \theta \geqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、$$\sin \theta \geqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ となる。$0<\theta <\pi$ より、$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$$ である。

(3)
まず $$L=[{\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta ]$$ とおくと、$L$ は $1,2,3$ のいずれかである。また $0<\sin \theta \leqq 1$ より ${\log }_2\sin \theta \leqq 0$ なので $[{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\log }_2\sin \theta ]\leqq 1$ である。 $L=3$ のとき、左辺は ${\log }_{2}3$ であり、これは $1$ より大きい。一方で右辺は高々 $1$ なので、この場合は不可能である。 $L=2$ のとき、左辺は ${\log }_{2}2=1$ である。したがって右辺が $1$ 以上であることが必要十分である。これは (2) と同じく $$\sin \theta \geqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である。さらに $L=2$ は $$2\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta <3$$ すなわち $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq \cos \theta <{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、$${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$$ である。この範囲では $$\sin \theta \geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}>{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ なので、全体が条件を満たす。 $L=1$ のとき、左辺は $0$ である。したがって右辺が $0$ 以上であればよい。すなわち $[{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\log }_2\sin \theta ]\geqq 0$ であり、これは ${\displaystyle \frac{3}{2}}+{\log }_2\sin \theta \geqq 0$ と同値である。よって $$\sin \theta \geqq 2^{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}$$ である。また $L=1$ は ${\displaystyle \frac{5}{2}}+\cos \theta <2$ すなわち $\cos \theta <-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ なので、$${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}<\theta <\pi$$ である。問題文の $\alpha$ を $$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}},0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ で定めると、この場合の範囲は $${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}<\theta \leqq \pi -\alpha$$ である。

以上を合わせると $${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<\theta \leqq \pi -\alpha$$ である。