九州大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$\varphi (t)=e^t-1-t-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}$$ とおく。すると $\varphi (0)=0$ であり，$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)=e^t-1-t,{\varphi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=e^t-1$$ である。$t\geqq 0$ では $e^t\geqq 1$ だから ${\varphi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)\geqq 0$ である。したがって ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)$ は $t\geqq 0$ で増加し，${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ より ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)\geqq 0$ である。さらに $\varphi (t)$ も $t\geqq 0$ で増加し，$\varphi (0)=0$ だから $\varphi (t)\geqq 0$ である。よって ${\displaystyle e^t\geqq 1+t+{\displaystyle \frac{t^2}{2}}(t\geqq 0)}$ が成り立つ。

(2)

(1) より，$t>0$ では $$e^t\geqq {\displaystyle \frac{t^2}{2}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{e^t}{t}}\geqq {\displaystyle \frac{t}{2}}$$ であり，右辺は $t\to +\mathrm{\infty }$ で $+\mathrm{\infty }$ に発散する。よって したがって$$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{e^t}{t}}=+\mathrm{\infty }$$である。

次に $x=e^{-t}$ とおくと，$x\to +0$ は $t\to +\mathrm{\infty }$ に対応する。このとき $$x\log x=e^{-t}(-t)=-{\displaystyle \frac{t}{e^t}}$$ である。上で示した $e^t\mathrm{/}t\to +\mathrm{\infty }$ より ${\displaystyle \frac{t}{e^t}}\to 0$ なので したがって$$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$$である。

(3)

まず $x>0$ の部分を考える。$y=x\log x$ とすると $y^{\mathrm{\prime }}=\log x+1$ であるから，$x=1\mathrm{/}e$ で最小となり，その最小値は $${\displaystyle \frac{1}{e}}\log {\displaystyle \frac{1}{e}}=-{\displaystyle \frac{1}{e}}$$ である。また $x\to +0$ で $x\log x\to 0$，$x=1$ で0，$x>1$ では正で増加して $+\mathrm{\infty }$ に向かう。

次に $x<0$ の部分を考える。$t=-x>0$ とおくと $f(x)=\mathrm{\mid }t\log t\mathrm{\mid }$ である。$0<t<1$ では $-t\log t$ であり，これは $t=1\mathrm{/}e$ で最大値 $1\mathrm{/}e$ をとり，両端 $t\to +0$，$t=1$ で0になる。$t>1$ では $t\log t$ であり，0から $+\mathrm{\infty }$ へ増加する。

さらに $x=0$ では $f(0)=0$ である。以上を合わせると，方程式 $f(x)=a$ の異なる実数解の個数は$$\begin{array}{cccccccc}a& a<-{\displaystyle \frac{1}{e}}& -{\displaystyle \frac{1}{e}}& -{\displaystyle \frac{1}{e}}<a<0& a=0& 0<a<{\displaystyle \frac{1}{e}}& a={\displaystyle \frac{1}{e}}& {\displaystyle \frac{1}{e}}<a\\ \text{個数}& 0& 1& 2& 3& 4& 3& 2\end{array}$$である。

(4) $0<x<1$ では $\log x<0$ なので $f(x)=x\log x<0$ である。したがって$$S=\underset{c\to +0}{\lim }{\int }_c^1\mathrm{\mid }x\log x\mathrm{\mid }dx={\int }_0^1(-x\log x)dx$$である。

部分積分を行うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_c^{1}x\log xdx}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\log x]}_c^1-{\int }_c^1{\displaystyle \frac{x}{2}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{c^2}{2}}\log c-{\displaystyle \frac{1-c^2}{4}}}\end{array}$$である。ここで(2)と同様に $c\log c\to 0$ であり，さらに $$c^2\log c=c(c\log c)\to 0$$ である。よって$${\int }_0^{1}x\log xdx=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$となる。したがって $${\displaystyle S={\displaystyle \frac{1}{4}}}$$ である。

水平線 $y=a$ との交点を、正の枝・負の枝・原点に分けて数える。