九州大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

共有点の $x$ 座標を $s$ とする。$$g(x)=\sqrt{x-1}$$ より $s>1$ である。共通接線を持つので $f^{\mathrm{\prime }}(s)=g^{\mathrm{\prime }}(s)$ すなわち $${\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{s-1}}}$$ である。よって $$s=2\sqrt{s-1}$$ であり，両辺を2乗して $$s^2=4s-4,(s-2{)}^2=0$$ を得る。したがって $s=2$ で，$g(2)=1$ だから共有点は $P=(2,1)$ である。また $f(2)=1$ より $a+\log 2=1$ なので $a=1-\log 2$ である。接線の傾きは $f^{\mathrm{\prime }}(2)=1\mathrm{/}2$ だから，接線は $y-1={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2)$ すなわち $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$ である。

(2) $a=1-\log 2$ として $$h(x)=f(x)-g(x)=1-\log 2+\log x-\sqrt{x-1}$$ とおく。$x>1$ で微分すると $$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x-1}}}$$ である。ここで $$u=\sqrt{x-1}$$ とおくと $x=u^2+1$ であり，$$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{u^2+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2u}}={\displaystyle \frac{2u-(u^2+1)}{2u(u^2+1)}}=-{\displaystyle \frac{(u-1{)}^2}{2u(u^2+1)}}\leqq 0$$となる。等号は $u=1$，すなわち $x=2$ のときだけである。

したがって $h$ は $x=2$ を除いて減少し，$h(2)=0$ であるから，$1\leqq x<2$ では $h(x)>0$，$x>2$ では $h(x)<0$ となる。よって2曲線の共有点は $P$ 以外に存在しない。

(3) $f(x)=0$ となるのは $1-\log 2+\log x=0$ より $x={\displaystyle \frac{2}{e}}$ である。また $g(x)=0$ となるのは $x=1$ である。(2)より $1\leqq x\leqq 2$ では $f(x)\geqq g(x)$ である。

したがって求める面積 $S$ は$$S={\int }_{2\mathrm{/}e}^{1}f(x)dx+{\int }_1^2\{f(x)-g(x)\}dx$$である。これは$$S={\int }_{2\mathrm{/}e}^{2}f(x)dx-{\int }_1^{2}g(x)dx$$とまとめられる。

まず$$\int f(x)dx=\int (1-\log 2+\log x)dx=x\log {\displaystyle \frac{x}{2}}$$であるから$${\int }_{2\mathrm{/}e}^{2}f(x)dx={[x\log {\displaystyle \frac{x}{2}}]}_{2\mathrm{/}e}^2=0-{\displaystyle \frac{2}{e}}\log {\displaystyle \frac{1}{e}}={\displaystyle \frac{2}{e}}$$である。また$${\int }_1^2\sqrt{x-1}dx={[{\displaystyle \frac{2}{3}}(x-1{)}^{3\mathrm{/}2}]}_1^2={\displaystyle \frac{2}{3}}$$である。よって $S={\displaystyle \frac{2}{e}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。

青い部分が2曲線と $x$ 軸で囲まれる領域。紫の直線は共通接線。