九州大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験（数学理系）理系（後期）数学 第5問

(1) $$g(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$とおくと，fは連続なので $g^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ である．仮定は$$0\leqq f(x)\leqq a+b{\int }_0^{x}f(t)dt$$であるから，$g^{\mathrm{\prime }}(x)\leqq a+bg(x)$ と書ける．したがって $g^{\mathrm{\prime }}(x)-bg(x)\leqq a$ である．

ここで$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{g(x)e^{-bx}\}=g^{\mathrm{\prime }}(x)e^{-bx}-bg(x)e^{-bx}=\{g^{\mathrm{\prime }}(x)-bg(x)\}{e}^{-bx}$$だから，$e^{-bx}>0$より $${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{g(x)e^{-bx}\}\leqq a{e}^{-bx}$$ が成り立つ．

(2)

(1) の不等式を0からxまで積分する．$g(0)=0$ であるから$$g(x)e^{-bx}-g(0)\leqq {\int }_0^{x}a{e}^{-bt}dt$$すなわち $$g(x)e^{-bx}\leqq {\displaystyle \frac{a}{b}}(1-e^{-bx})$$ である．よって $$g(x)\leqq {\displaystyle \frac{a}{b}}(e^{bx}-1)$$ となる．

仮定$f(x)\leqq a+bg(x)$に戻すと $$f(x)\leqq a+b\cdot {\displaystyle \frac{a}{b}}(e^{bx}-1)=a{e}^{bx}$$ である．したがって $f(x)\leqq a{e}^{bx}$ が示された．

(3)

与えられた積分方程式から$$y(x)-z(x)={\int }_0^x\{F(y(t))-F(z(t))\}dt$$である．両辺の絶対値を取ると，三角不等式により$$\mathrm{\mid }y(x)-z(x)\mathrm{\mid }\leqq {\int }_0^x\mathrm{\mid }F(y(t))-F(z(t))\mathrm{\mid }dt$$である．さらにFの条件 $$\mathrm{\mid }F(\alpha )-F(\beta )\mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }$$ を$\alpha =y(t),\beta =z(t)$に適用すると $$\mathrm{\mid }F(y(t))-F(z(t))\mathrm{\mid }\leqq \mathrm{\mid }y(t)-z(t)\mathrm{\mid }=h(t)$$ である．したがって$$h(x)=\mathrm{\mid }y(x)-z(x)\mathrm{\mid }\leqq {\int }_0^{x}h(t)dt$$が成り立つ．

(4)

(3) より$$0\leqq h(x)\leqq {\int }_0^{x}h(t)dt$$である．ここで(2)の証明は$a=0,b=1$の場合にもそのまま成り立つ．実際，$f=h$，$a=0$，$b=1$として同じ議論を用いると $h(x)\leqq 0\cdot e^x=0$ となる．一方で$h(x)\geqq 0$だから $h(x)=0$ である．よって $\mathrm{\mid }y(x)-z(x)\mathrm{\mid }=0$ であり，すべての$x\geqq 0$で $y(x)=z(x)$ が成り立つ．

(3) の不等式を自分自身へ繰り返し代入する．有限区間でのhの最大値をHと置くと，n重積分から $h(x)\leqq H{x}^n\mathrm{/}n!$ が得られ，$n\to \mathrm{\infty }$ で0になる．

(1)

$g(x)$ に積分因子 $e^{-bx}$ を掛ける解法1の計算により$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{g(x)e^{-bx}\}\leqq a{e}^{-bx}\mathrm{.}$$(2)

(1) を0からxまで積分して $g(x)\leqq a(e^{bx}-1)\mathrm{/}b$ を得る．これを元の仮定へ戻すと$$f(x)\leqq a{e}^{bx}\mathrm{.}$$(3)

2つの積分方程式の差を取り，Fの条件を使えば$$h(x)=\mathrm{\mid }y(x)-z(x)\mathrm{\mid }\leqq {\int }_0^{x}h(t)dt\mathrm{.}$$(4)

任意に $X>0$ を固定する．hは $[0,X]$ で連続だから，最大値$$H=\underset{0\leqq t\leqq X}{\max }h(t)$$を持つ．(3)より，$0\leqq x\leqq X$ で$$h(x)\leqq {\int }_0^{x}h(t_1)d{t}_1\mathrm{.}$$右辺のhにも同じ不等式を代入し，これをn回繰り返すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h(x)}& {\displaystyle \leqq {\int }_0^x{\int }_0^{t_1}\cdots {\int }_0^{t_{n-1}}h(t_n)d{t}_n\cdots d{t}_{2}d{t}_1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq {\displaystyle \frac{H{x}^n}{n!}}}\end{array}$$を得る．

固定したxに対して $x^n\mathrm{/}n!\to 0$ であるから，$n\to \mathrm{\infty }$ とすれば$$0\leqq h(x)\leqq 0.$$よって $h(x)=0$ であり，$[0,X]$ で $y(x)=z(x)$ が成り立つ．Xは任意なので，すべての $x\geqq 0$ で$$y(x)=z(x)$$である．