九州大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

直線 $y=x$ の傾きは $1$ であるから、これに垂直な直線 $PH$ の傾きは $-1$ である。点 $P(t,t^2)$ を通るので、$PH$ の方程式は $y-t^2=-(x-t)$ すなわち $y=t^2+t-x$ である。これと $y=x$ を連立すると $x=t^2+t-x$ より $$x=\frac{t^2+t}{2}$$ である。したがって $H(\frac{t^2+t}{2},\frac{t^2+t}{2})$ である。

$t>1$ の代表的な配置。$S_1$ は $x=t$ で上側の境界が変わる。

(2) $P$ を通る $y$ 軸に平行な直線は $x=t$ である。これと $y=x$ との交点は $R=(t,t)$ である。よって $PR=t^2-t$ である。また$$\overrightarrow{RH}=(\frac{t^2+t}{2}-t,\frac{t^2+t}{2}-t)=(\frac{t^2-t}{2},\frac{t^2-t}{2})$$である。

三角形の面積は、$R$ を基準にした2つのベクトル$$\overrightarrow{RP}=(0,t^2-t),\overrightarrow{RH}=(\frac{t^2-t}{2},\frac{t^2-t}{2})$$で作る平行四辺形の半分である。したがって$$[\mathrm{△}PRH]=\frac{1}{2}\mid 0\cdot \frac{t^2-t}{2}-(t^2-t)\frac{t^2-t}{2}\mid =\frac{(t^2-t{)}^2}{4}$$である。

(3) $H$ の $x$ 座標を $$u=\frac{t^2+t}{2}$$ とおく。$t>1$ なので $u>t$ である。求める領域は、$1\leqq x\leqq t$ では上側が放物線 $y=x^2$、下側が直線 $y=x$ であり、$t\leqq x\leqq u$ では上側が線分 $PH$ の直線 $y=t^2+t-x$、下側が $y=x$ である。

よって$$S_1={\int }_1^t(x^2-x)dx+{\int }_t^u(t^2+t-2x)dx$$である。第1項は$${\int }_1^t(x^2-x)dx={[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}]}_1^t=\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+\frac{1}{6}$$である。第2項は$${\int }_t^u(t^2+t-2x)dx={[(t^2+t)x-x^2]}_t^u$$であり、$u=(t^2+t)\mathrm{/}2$ を代入して整理すると $\frac{(t^2-t{)}^2}{4}$ である。したがって$$S_1=\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+\frac{1}{6}+\frac{(t^2-t{)}^2}{4}=\frac{(t-1{)}^2(3t^2+4t+2)}{12}$$である。

(4)

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x$ は $x=0,1$ で交わり、$0\leqq x\leqq 1$ では $x\geqq x^2$ である。よって$$S_2={\int }_0^1(x-x^2)dx={[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}]}_0^1=\frac{1}{6}$$である。 $S_1=S_2$ より $$\frac{(t-1{)}^2(3t^2+4t+2)}{12}=\frac{1}{6}$$ である。すなわち $(t-1{)}^2(3t^2+4t+2)=2$ である。左辺を展開して整理すると $3t^4-2t^3-3t^2=0$ すなわち $t^2(3t^2-2t-3)=0$ である。$t>1$ なので $t=0$ は不適で、$3t^2-2t-3=0$ を解けばよい。したがって $$t=\frac{2\pm \sqrt{4+36}}{6}=\frac{1\pm \sqrt{10}}{3}$$ であり、$t>1$ より $$t=\frac{1+\sqrt{10}}{3}$$ である。