九州大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

$P$が$y=x^2$上を動くので，$P=(x,x^2)$ とおく。このとき $$X=ax+b{x}^2,Y=cx+d{x}^2$$ である。$Q$が放物線$9X=2Y^2$上にあるためには，すべての実数$x$について $9(ax+b{x}^2)=2(cx+d{x}^2{)}^2$ が成り立つ必要がある。展開すると $$9ax+9b{x}^2=2c^2{x}^2+4cd{x}^3+2d^2{x}^4$$ である。係数を比較して $$9a=0,9b=2c^2,4cd=0,2d^2=0$$ を得る。したがって $${\displaystyle a=0,d=0,b=\frac{2c^2}{9}}$$ である。

さらに，$Q$が放物線$9X=2Y^2$の全体を動くには，$Y=cx$がすべての実数値を取る必要がある。したがって$c\mathrm{\ne }0$である。よって$$A=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{2c^2}{9}}\\ c& 0\end{array}\right)(c\mathrm{\ne }0)$$である。このとき$Y=cx$は全実数を動き，$X=2Y^2\mathrm{/}9$となるので，確かに放物線全体が得られる。

(2)

円の条件は $X^2+(Y-1{)}^2=1$ すなわち $X^2+Y^2-2Y=0$ である。$X=ax+b{x}^2$，$Y=cx+d{x}^2$を代入すると $$(ax+b{x}^2{)}^2+(cx+d{x}^2{)}^2-2(cx+d{x}^2)=0$$ がすべての$x$で成り立つ。

$x^4$の係数から $b^2+d^2=0$ である。$b,d$は実数なので $b=0,d=0$ である。すると恒等式は $(a^2+c^2)x^2-2cx=0$ となる。$x$の係数より$c=0$，さらに$x^2$の係数より$a=0$である。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$である。このとき$Q=(0,0)$であり，確かに円$X^2+(Y-1{)}^2=1$上の点である。

(3)

$P=(x,x^2)$に対して $Q=(X,Y)=x(a,c)+x^2(b,d)$ である。$x=0$のとき$Q=(0,0)$だから，$Q$が動く直線$L$は原点を通る直線でなければならない。

まず$b=d=0$かつ$(a,c)\mathrm{\ne }(0,0)$なら $Q=x(a,c)$ である。$x$はすべての実数を動くので，$Q$は原点を通り方向ベクトル$(a,c)$をもつ直線全体を動く。この直線は $cX-aY=0$ で表される。

逆に，$Q$がある直線全体を動くとする。するとすべての$Q=x(a,c)+x^2(b,d)$は同じ一本の原点を通る直線上にあるので，$(a,c)$と$(b,d)$は同じ方向を向くか，どちらかが零ベクトルでなければならない。もし$(b,d)\mathrm{\ne }(0,0)$なら，その直線上の座標は $\alpha x+\beta x^2(\beta \mathrm{\ne }0)$ という二次式で表される。二次式の値域は下または上に限界をもつため，直線全体を動くことはできない。したがって $(b,d)=(0,0)$ でなければならない。さらに$(a,c)=(0,0)$なら$Q$は原点だけにとどまり，直線全体を動かない。よって必要十分条件は $$b=d=0,(a,c)\mathrm{\ne }(0,0)$$ である。

$P=(t,t^2)$ と置き、像を $Q(t)=t(a,c)+t^2(b,d)$ と見る。(1)(2)は恒等式の係数比較で決める。(3)では2つの係数ベクトルが直線方向に並ぶことと、非定数二次式の値域が全実数にはならないことを組み合わせる。

(1) $$Q(t)=(at+b{t}^2,ct+d{t}^2)$$を $9X=2Y^2$ へ代入し、$t$ の恒等式として係数比較すると$$a=d=0,b=\frac{2c^2}{9}$$を得る。放物線全体を動くには $Y=ct$ が全実数を動く必要があるから $c\text{neqq}0$ である。よって$$A=\left(\begin{array}{cc}0& {\displaystyle \frac{2c^2}{9}}\\ c& 0\end{array}\right)(c\text{neqq}0)$$である。

(2)

$X^2+Y^2-2Y=0$ へ代入する。$t^4$ の係数は $b^2+d^2$ なので $b=d=0$ である。残りは$$(a^2+c^2)t^2-2ct=0$$であり、係数比較から $a=c=0$ を得る。したがって零行列だけが条件を満たす。

(3)

$Q(t)$ が原点を通る1本の直線上にあるなら、ベクトル$$u=(a,c),v=(b,d)$$は同一直線方向にある。$v\text{neqq}0$ の場合、適当な方向ベクトル $w$ と実数 $\alpha ,\beta$ を用いて$$Q(t)=(\alpha t+\beta t^2)w,\beta \text{neqq}0$$と書ける。しかし非定数二次式 $\alpha t+\beta t^2$ の値域には上限または下限があり、直線全体を動けない。$u=0,v\text{neqq}0$ の場合も $t^{2}v$ は半直線しか動かない。

したがって必要なのは$$v=0,u\text{neqq}0$$すなわち$$b=d=0,(a,c)\text{neqq}(0,0)$$である。このとき $Q(t)=t(a,c)$ は実際に直線全体を動き、その方程式は$$cX-aY=0$$である。