九州大学 2011年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

漸化式 $a_{n+1}=\alpha a_n$ より、数列 $\{a_n\}$ は初項 $a$、公比 $\alpha$ の等比数列である。したがって $a_n=a{\alpha }^{n-1}$ である。常用対数を取ると$$x_n={\log }_{10}{a}_n={\log }_{10}(a{\alpha }^{n-1})={\log }_{10}a+(n-1){\log }_{10}\alpha$$である。

(2) $y_n={\log }_{10}{b}_n$ とおく。漸化式 $b_{n+1}=\beta b_n^2$ の両辺の常用対数を取ると $$y_{n+1}={\log }_{10}\beta +2{\log }_{10}{b}_n=2y_n+{\log }_{10}\beta$$ である。また $y_1={\log }_{10}b$ である。

この漸化式を繰り返すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y_n}& {\displaystyle =2^{n-1}{y}_1+(1+2+\cdots +2^{n-2}){\log }_{10}\beta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{n-1}{\log }_{10}b+(2^{n-1}-1){\log }_{10}\beta }\end{array}$$である。よって $$y_n=2^{n-1}{\log }_{10}b+(2^{n-1}-1){\log }_{10}\beta$$ である。

(3) $a=b=1$ のとき、${\log }_{10}a={\log }_{10}b=0$ である。(1)(2)の結果より $$x_{n+1}=n{\log }_{10}\alpha$$ であり、$$y_{n+1}=(2^n-1){\log }_{10}\beta$$ である。$0<\alpha <1$、$0<\beta <1$ より、${\log }_{10}\alpha$ と ${\log }_{10}\beta$ はどちらも負であり、特に ${\log }_{10}\beta \mathrm{\ne }0$ である。

したがって$$\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}=\frac{n}{2^n-1}\cdot \frac{{\log }_{10}\alpha }{{\log }_{10}\beta }$$である。ここで、二項定理から $n\geqq 2$ に対して$$2^n=(1+1{)}^n\geqq 1+n+\frac{n(n-1)}{2}$$である。したがって$$0<\frac{n}{2^n-1}\leqq \frac{n}{n+\frac{n(n-1)}{2}}=\frac{2}{n+1}⟶0.$$よって定数倍しても極限は0であり、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}=0$$が示された。