九州大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $0<x<1$ で交点をもつなら$$x{e}^x=ax$$である。$x>0$ だから両辺を $x$ で割ると $e^x=a$ となる。$0<x<1$ における $e^x$ の値域は $1<e^x<e$ なので$$1<a<e$$である。

(2) $$h(a)={\int }_0^{1}x\mathrm{\mid }{e}^x-a\mathrm{\mid }dx$$である。$0<a\leqq 1$ では全区間で $e^x>a$ だから $h(a)$ は $a$ の増加とともに減少する。$a\geqq e$ では全区間で $e^x\leqq a$ だから $h(a)$ は増加する。したがって最小値を与える $a$ は $1<a<e$ にある。

$u=\log a$ とおけば $0<u<1$、$e^u=a$ であり、$$h(a)={\int }_0^{u}x(a-e^x)dx+{\int }_u^{1}x(e^x-a)dx$$となる。$a$ で微分すると、積分区間の端 $x=u$ では $a-e^u=0$ なので境界項は消える。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h^{\mathrm{\prime }}(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^{u}xdx-{\int }_u^{1}xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{u^2}{2}-\frac{1-u^2}{2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u^2-\frac{1}{2}}\end{array}$$である。$u=\log a$ は $a$ とともに増加するので、$h^{\mathrm{\prime }}(a)$ は $u=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ の前で負、後で正となる。したがって $h(a)$ を最小にするのは$$\log a=\frac{1}{\sqrt{2}},a=e^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}$$である。