九州大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

$x=1$ では $C_1,C_2$ ともに $y=0$ である。もう一方の交点の $x$ 座標が $n+1$ なので、$$\log (n+1)=((n+1)-1)((n+1)-a)=n(n+1-a)$$ である。したがって である。また $$\log (n+1)={\int }_1^{n+1}\frac{1}{x}dx<{\int }_1^{n+1}1dx=n$$ だから $$\frac{\log (n+1)}{n}<1$$ であり、$$a=n+1-\frac{\log (n+1)}{n}>n\geqq 1$$ である。よって $a>1$ である。

(2)

点 $P,Q$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{\log (n+1)}{n}$ であるから、直線 $PQ$ は $$y=\frac{\log (n+1)}{n}(x-1)$$ である。

まず $C_1:y=\log x$ は上に凸であり、弦より上にあるので $$S_n={\int }_1^{n+1}(\log x-\frac{\log (n+1)}{n}(x-1))dx$$ である。ここで $${\int }_1^{n+1}\log xdx=(n+1)\log (n+1)-n$$ かつ $${\int }_1^{n+1}\frac{\log (n+1)}{n}(x-1)dx=\frac{n}{2}\log (n+1)$$ である。したがって である。

次に $C_2$ と直線 $PQ$ の差を計算する。(1)より $$a+\frac{\log (n+1)}{n}=n+1$$ であるから $$\frac{\log (n+1)}{n}(x-1)-(x-1)(x-a)=(x-1)(n+1-x)$$ である。これは $1\leqq x\leqq n+1$ で非負なので、$$T_n={\int }_1^{n+1}(x-1)(n+1-x)dx$$ である。$u=x-1$ とおくと$$T_n={\int }_0^{n}u(n-u)du={[\frac{n{u}^2}{2}-\frac{u^3}{3}]}_0^n=\frac{n^3}{6}$$である。よって である。

(3)

(2) より$$\frac{S_n}{n\log T_n}=\frac{(\frac{n}{2}+1)\log (n+1)-n}{n\log (n^3\mathrm{/}6)}$$である。分子と分母を $n\log n$ で割ると$$\frac{S_n}{n\log T_n}=\frac{(\frac{1}{2}+\frac{1}{n})\frac{\log (n+1)}{\log n}-\frac{1}{\log n}}{\frac{\log (n^3\mathrm{/}6)}{\log n}}$$である。ここで$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log (n+1)}{\log n}=1,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{\log n}=0,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log (n^3\mathrm{/}6)}{\log n}=3$$だから である。

面積を「曲線下の面積と弦下の台形の差」として捉える。放物線と弦の差は，両端を零点にもつ2次式であることから直ちに因数分解できる。極限は $S_n\mathrm{/}(n\log n)$ と $\log T_n\mathrm{/}\log n$ を別々に評価する。

(1)
$x=n+1$ が交点の $x$ 座標なので$$\log (n+1)=n(n+1-a)\mathrm{.}$$したがってここで $h(u)=u-\log (1+u)$ とおくと$$h(0)=0,h^{\mathrm{\prime }}(u)=\frac{u}{1+u}>0(u>0)$$である。ゆえに $\log (n+1)<n$ であり，$$a>n\geqq 1.$$したがって $a>1$ である。

(2)
弦 $PQ$ の下の面積は，幅 $n$，両端の高さ $0,\log (n+1)$ の台形の面積だから$$\frac{n}{2}\log (n+1)$$である。一方$${\int }_1^{n+1}\log xdx=(n+1)\log (n+1)-n\mathrm{.}$$対数曲線は弦の上側にあるので次に，弦と $C_2$ の高さの差は2次式であり，$x=1,n+1$ で0，2次の係数は $-1$ である。よって$$(\text{弦})-(C_2)=(x-1)(n+1-x)\mathrm{.}$$$x=1+nu$ とおくと(3)$${\epsilon }_n=\log (1+\frac{1}{n})$$とおけば$$\log (n+1)=\log n+{\epsilon }_n,0<{\epsilon }_n<\frac{1}{n}\mathrm{.}$$したがって$$\frac{S_n}{n\log n}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{n})(1+\frac{{\epsilon }_n}{\log n})-\frac{1}{\log n}⟶\frac{1}{2}\mathrm{.}$$また$$\frac{\log T_n}{\log n}=\frac{3\log n-\log 6}{\log n}⟶3.$$よって$$\frac{S_n}{n\log T_n}=\frac{S_n\mathrm{/}(n\log n)}{\log T_n\mathrm{/}\log n}⟶\mathrm{<mfrac><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mn\; mathvariant="bold">6</mn></mfrac>}\mathrm{.}$$