九州大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$T=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$とする。まず$$AT=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}5a+3c& 5b+3d\\ 3a+5c& 3b+5d\end{array}\right)$$である。一方$$TB=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\mathrm{/}2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2a& b\mathrm{/}2\\ 2c& d\mathrm{/}2\end{array}\right)$$である。 $AT=TB$ より成分を比較すると $$5a+3c=8a,5b+3d=2b,$$ $$3a+5c=8c,3b+5d=2d$$ である。これらから $c=a,d=-b$ を得る。さらに $ad-bc=1$ に $c=a,d=-b$ を代入すると $a(-b)-ba=-2ab=1$ である。したがって $a\mathrm{\ne }0$ であり、$$b=-\frac{1}{2a},c=a,d=\frac{1}{2a}$$ である。よって $$b=-\frac{1}{2a},c=a,d=\frac{1}{2a}$$ である。

(2) $$\left(\begin{array}{c}{\alpha }_n\\ {\beta }_n\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_{n-1}\\ {\beta }_{n-1}\end{array}\right)$$より$${\alpha }_n=\frac{5{\alpha }_{n-1}+3{\beta }_{n-1}}{4},{\beta }_n=\frac{3{\alpha }_{n-1}+5{\beta }_{n-1}}{4}$$である。和と差を取ると $${\alpha }_n+{\beta }_n=2({\alpha }_{n-1}+{\beta }_{n-1})$$ であり、$${\alpha }_n-{\beta }_n=\frac{1}{2}({\alpha }_{n-1}-{\beta }_{n-1})$$ である。初期値 ${\alpha }_0=1,{\beta }_0=0$ から $${\alpha }_0+{\beta }_0=1,{\alpha }_0-{\beta }_0=1$$ なので $${\alpha }_n+{\beta }_n=2^n,{\alpha }_n-{\beta }_n=2^{-n}$$ である。したがって$${\alpha }_n=\frac{2^n+2^{-n}}{2},{\beta }_n=\frac{2^n-2^{-n}}{2}$$である。

直線 $l:y=x$ と直交する直線は傾き $-1$ である。点 $P_n({\alpha }_n,{\beta }_n)$ を通るので $$y-{\beta }_n=-(x-{\alpha }_n)$$ すなわち $$x+y={\alpha }_n+{\beta }_n=2^n$$ である。よって $m:x+y=2^n$ である。

(3)

直線 $l:y=x$ と $m:x+y=2^n$ の交点 $Q_n$ は $Q_n=(2^{n-1},2^{n-1})$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{Q_n{P}_n}}& {\displaystyle =(\frac{2^n+2^{-n}}{2}-2^{n-1},\frac{2^n-2^{-n}}{2}-2^{n-1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2^{-n-1},-2^{-n-1})}\end{array}$$である。よって $$d_n=\sqrt{(2^{-n-1}{)}^2+(-2^{-n-1}{)}^2}=\frac{2^{-n}}{\sqrt{2}}$$ である。したがって ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{d}_n=0$ である。

(1) で得た $T$ のうち $a=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ を選ぶと、列ベクトルの長さが1で互いに直交する行列になる。$AT=TB$ から $A=TB{T}^{-1}$、したがって $A^n=T{B}^n{T}^{-1}$ として漸化式を一度に解く。最後は点と直線 $y=x$ の距離公式で極限を求める。

(1) $AT=TB$ を成分比較すると $c=a,d=-b$ である。さらに $ad-bc=1$ より $-2ab=1$ だから$$b=-\frac{1}{2a},c=a,d=\frac{1}{2a}$$である。

(2) $a=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ を選べば$$T=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right),T^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$$となる。$AT=TB$ より $A=TB{T}^{-1}$ だから$$A^n=T{B}^n{T}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}{2}^n+2^{-n}& 2^n-2^{-n}\\ 2^n-2^{-n}& 2^n+2^{-n}\end{array}\right)$$である。初期ベクトルは $(1,0{)}^{\mathsf{T}}$ なので$${\alpha }_n=\frac{2^n+2^{-n}}{2},{\beta }_n=\frac{2^n-2^{-n}}{2}$$を得る。また $P_n$ を通り $y=x$ と直交する直線は$$m:x+y={\alpha }_n+{\beta }_n=2^n$$である。

(3) $Q_n$ は $P_n$ から直線 $y=x$ へ下ろした垂線の足である。よって点と直線の距離公式から$$d_n=\frac{\mathrm{\mid }{\alpha }_n-{\beta }_n\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}=\frac{2^{-n}}{\sqrt{2}}$$であり、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{d}_n=0$$である。