九州大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $f(x)=x-\sin x$ より $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-\cos x$ である。接線の傾きが $1\mathrm{/}2$ となる接点の $x$ 座標を $a$ とすると $1-\cos a=\frac{1}{2}$ である。したがって $\cos a=\frac{1}{2}$ であり、$0\leqq a\leqq \pi \mathrm{/}2$ だから $$a=\frac{\pi }{3}$$ である。このとき $$b=f(a)=\frac{\pi }{3}-\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ である。よって接点は $(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})$ である。

接線 $l$ は傾き $1\mathrm{/}2$ でこの点を通るから$$y-(\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{2}(x-\frac{\pi }{3})$$である。整理すれば $$y=\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ である。

(2) $0\leqq x\leqq \pi \mathrm{/}3$ では $\sin x\leqq x$ なので $f(x)=x-\sin x\geqq 0$ である。したがって、求める回転体の体積は、半径 $f(x)$ の円板を積み重ねて$$V=\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}(x-\sin x{)}^{2}dx$$である。

積分を計算する。 $$(x-\sin x{)}^2=x^2-2x\sin x+{\sin }^{2}x$$ である。まず$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}{\left(\frac{\pi }{3}\right)}^3=\frac{{\pi }^3}{81}$$である。また部分積分より $$\int x\sin xdx=-x\cos x+\sin x$$ だから$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}x\sin xdx=-\frac{\pi }{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$$である。さらに $${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$ より$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}{\sin }^{2}xdx={[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}]}_0^{\pi \mathrm{/}3}=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}$$である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}(x-\sin x{)}^{2}dx}& {\displaystyle =\frac{{\pi }^3}{81}-2(-\frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2})+\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{8}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\pi }^3}{81}+\frac{\pi }{2}-\frac{9\sqrt{3}}{8}}\end{array}$$である。よって$$V=\pi (\frac{{\pi }^3}{81}+\frac{\pi }{2}-\frac{9\sqrt{3}}{8})$$である。分母をそろえれば $$V=\frac{\pi }{648}(8{\pi }^3+324\pi -729\sqrt{3})$$ とも書ける。