まず、f′(x)>0 なので f(x) は単調に増加する。f(−2)<0、f(2)>0 だから、方程式 f(x)=0 は −2<a<2 にただ1つの解 a をもつ。
接線の方程式から反復式を求める。曲線 y=f(x) の x=xn における接線は y=f′(xn)(x−xn)+f(xn) である。これと x 軸との交点では y=0 だから 0=f′(xn)(xn+1−xn)+f(xn) である。したがって xn+1=xn−f′(xn)f(xn) であり、同時に f(xn)=f′(xn)(xn−xn+1) である。
(1) xn>a とする。[a,xn] で平均値の定理を用いると、ある ξ が a<ξ<xn に存在して xn−af(xn)−f(a)=f′(ξ) となる。f(a)=0 なので xn−af(xn)=f′(ξ) である。
また f′′(x)>0 より f′(x) は単調に増加する。したがって f′(a)<f′(ξ)<f′(xn) である。ここに f(xn)=f′(xn)(xn−xn+1) を代入すると f′(a)<xn−af′(xn)(xn−xn+1)<f′(xn) が得られる。
(2)
数学的帰納法で示す。まず x1=2 であり、−2<a<2 だから x1>a である。
次に xn>a と仮定する。(1) の右側の不等式から xn−af′(xn)(xn−xn+1)<f′(xn) である。f′(xn)>0 なので割って xn−xn+1<xn−a を得る。したがって xn+1>a である。よって帰納法により xn>a(n=1,2,3,…) である。
(3)
(1) の左側の不等式から xn−af′(xn)(xn−xn+1)>f′(a) である。f′(xn)>0 で割ると xn−axn−xn+1>f′(xn)f′(a) である。左辺を xn−axn−xn+1=1−xn−axn+1−a と書き直すと 1−xn−axn+1−a>f′(xn)f′(a) である。したがって xn−axn+1−a<1−f′(xn)f′(a) を得る。
(4)
(2) より、すべての n で xn>a である。このとき f(xn)>0 であり、f′(xn)>0 なので xn+1=xn−f′(xn)f(xn)<xn である。したがって {xn} は単調減少で、下に a で有界である。よって極限をもつ。これを limn→∞xn=L とおくと、L≧a である。
反復式 xn+1=xn−f′(xn)f(xn) の両辺で極限をとる。f と f′ は連続で、f′(L)>0 だから L=L−f′(L)f(L) である。したがって f(L)=0 である。f(x)=0 の解は a ただ1つなので L=a である。よって limn→∞xn=a が示された。
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