九州大学 2017年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

赤玉2個，青玉1個，白玉1個が入った袋が置かれた円形のテーブルの周りにA，B，Cの3人がこの順番で時計回りに着席している。3人のうち，ひとりが袋から玉を1個取り出し，色を確認したら袋にもどす操作を考える。1回目はAが玉を取り出し，次のルール(a)，(b)，(c)に従って勝者が決まるまで操作を繰り返す。

(a) 赤玉を取り出したら，取り出した人を勝者とする。

(b) 青玉を取り出したら，次の回も同じ人が玉を取り出す。

A，B，Cの3人が $n$ 回目に玉を取り出す確率をそれぞれ $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ $(n = 1, 2, \dots)$ とする。ただし， $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = c_{1} = 0$ である。以下の問いに答えよ。

(1) Aが4回目に勝つ確率と7回目に勝つ確率をそれぞれ求めよ。

(2) $d_{n} = a_{n} + b_{n} + c_{n}$ $(n = 1, 2, \dots)$ とおくとき， $d_{n}$ を求めよ。

(3) 自然数 $n ≧ 3$ に対し， $a_{n + 1}$ を $a_{n - 2}$ と $n$ を用いて表せ。

出典：九州大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

解法1

赤で終了する確率が $1/2$ ，青または白で継続する確率がそれぞれ $1/4$ である。まず $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ の1回遷移を立て，(1)は必要な項を順に計算してAがその回に赤を出す確率を掛ける。(2)は合計 $d_{n}$ の漸化式だけを取り出す。(3)は3回分の遷移をまとめ， $a_{n + 3} = (3 d_{n} - a_{n}) /64$ を作って添字を合わせる。

解法2

青を「その場に留まる」，白を「次の人へ1つ進む」とみなし，継続した経路を数える。(3)では3回の継続中に進む回数を0から3まで分類する。

解答

解法1

赤玉が出る確率は $\frac{1}{2}$ ，青玉が出る確率と白玉が出る確率はそれぞれ $\frac{1}{4}$ である。赤玉が出た時点で終了するので， $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ は「 $n$ 回目の操作が行われ，その担当者がA,B,Cである確率」を表している。

白玉が出ると次の人へ移り，青玉が出ると同じ人が続けるので，漸化式は $a_{n + 1} = \frac{1}{4} a_{n} + \frac{1}{4} c_{n}$ $b_{n + 1} = \frac{1}{4} b_{n} + \frac{1}{4} a_{n}$ $c_{n + 1} = \frac{1}{4} c_{n} + \frac{1}{4} b_{n}$ である。

(1)

初期値は $a_{1} = 1, b_{1} = c_{1} = 0$ である。上の漸化式から順に計算すると $(a_{2}, b_{2}, c_{2}) = (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 0)$ $(a_{3}, b_{3}, c_{3}) = (\frac{1}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16})$ $(a_{4}, b_{4}, c_{4}) = (\frac{1}{32}, \frac{3}{64}, \frac{3}{64})$ である。Aが4回目に勝つには，4回目の担当がAで，その回に赤玉を出せばよいから $\frac{1}{2} a_{4} = \frac{1}{64}$ である。

さらに計算すると $a_{5} = \frac{5}{256}, c_{5} = \frac{3}{128}$ $a_{6} = \frac{11}{1024}, c_{6} = \frac{11}{1024}$ であり，したがって $a_{7} = \frac{1}{4} a_{6} + \frac{1}{4} c_{6} = \frac{11}{2048}$ である。よってAが7回目に勝つ確率は $\frac{1}{2} a_{7} = \frac{11}{4096}$ である。

(2)

$d_{n} = a_{n} + b_{n} + c_{n}$ とおく。3つの漸化式を足すと $d_{n + 1} = \frac{1}{2} d_{n}$ である。 $d_{1} = 1$ なので $d_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1}$ である。

(3)

1回の遷移で

a_{n + 1} b_{n + 1} c_{n + 1} = \frac{1}{4} 110011101 a_{n} b_{n} c_{n}

である。3回分をまとめると，A成分について $a_{n + 3} = \frac{2 a _{n} + 3 b _{n} + 3 c _{n}}{64}$ となる。ここで $d_{n} = a_{n} + b_{n} + c_{n}$ を用いると $2 a_{n} + 3 b_{n} + 3 c_{n} = 3 d_{n} - a_{n}$ であるから $a_{n + 3} = \frac{3 d _{n} - a _{n}}{64}$ である。

これに $n$ の代わりに $n - 2$ を入れると， $n ≧ 3$ に対して $a_{n + 1} = \frac{3 d _{n - 2} - a _{n - 2}}{64}$ である。(2)より $d_{n - 2} = 2^{- (n - 3)}$ なので $a_{n + 1} = \frac{3}{2 ^{n + 3}} - \frac{a _{n - 2}}{64}$ である。

解法2

各回で赤・青・白が出る確率はそれぞれ $1/2, 1/4, 1/4$ である。したがって

a_{n + 1} = \frac{a _{n} + c _{n}}{4}, b_{n + 1} = \frac{b _{n} + a _{n}}{4}, c_{n + 1} = \frac{c _{n} + b _{n}}{4} .

(1)

初期値から順に計算すると

a_{4} = \frac{1}{32}, a_{7} = \frac{11}{2048} .

その回にAが赤を引く確率は担当確率の $1/2$ だから，

\frac{1}{64}, \frac{11}{4096} .

(2)

$d_{n} = a_{n} + b_{n} + c_{n}$ とすると

d_{n + 1} = \frac{1}{2} d_{n}, d_{1} = 1,

よって $d_{n} = 2^{- (n - 1)}$ である。

(3)

3回の継続で，青なら同じ人，白なら次の人へ進む。AからAへ戻る経路は白が0回または3回の2通り，BからAへは白が2回の3通り，CからAへは白が1回の3通りである。各経路の確率は $4^{- 3}$ なので

a_{n + 3} = \frac{2 a _{n} + 3 b _{n} + 3 c _{n}}{64} = \frac{3 d _{n} - a _{n}}{64} .

$n$ を $n - 2$ に替えると

a_{n + 1} = \frac{3}{2 ^{n + 3}} - \frac{a _{n - 2}}{64} (n ≧ 3) .

九州大学 2017年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

九州大学 2017年度
理系数学前期第4問