九州大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$(a,b,c)$の最大公約数を$g$とする。$d$が$g$の倍数であるための$d$の選び方は $\lfloor \frac{6}{g}\rfloor$ 通りである。したがって，まず$(a,b,c)$の最大公約数が各$g$になる個数を数える。 $g=6$となるのは $(a,b,c)=(6,6,6)$ だけなので1通りである。同様に$g=5$となるのは$(5,5,5)$だけ，$g=4$となるのは$(4,4,4)$だけで，それぞれ1通りである。 $g=3$となるには，$a,b,c$がすべて3の倍数であり，すべて6ではないことが必要十分である。3の倍数は$3,6$の2種類なので $2^3-1=7$ 通りである。 $g=2$となるには，$a,b,c$がすべて偶数であり，3つを2で割った数の最大公約数が1であればよい。偶数は$2,4,6$であり，2で割ると$1,2,3$である。$1,2,3$から3個選ぶ全$3^3$通りのうち，最大公約数が1でないのは$(2,2,2)$と$(3,3,3)$だけである。したがって $3^3-2=25$ 通りである。

全体の組数は$6^3=216$通りなので，$g=1$となる組数は $216-(25+7+1+1+1)=181$ である。

以上より，条件を満たす$(a,b,c,d)$の個数は $$181\cdot 6+25\cdot 3+7\cdot 2+1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1=1178$$ である。全事象は $6^4=1296$ 通りなので，求める確率は $$\frac{1178}{1296}=\frac{589}{648}$$ である。

最大公約数が $g$ の組数を，まず「$g$ の倍数だけからなる組」の総数を数え，より大きい最大公約数の組を差し引いて求める。

$M_g$ を $a,b,c$ がすべて $g$ の倍数となる組数，$E_g$ を最大公約数がちょうど $g$ となる組数とする。すると$$M_g={\lfloor \frac{6}{g}\rfloor }^3\mathrm{.}$$大きい $g$ から順に差し引くと$$\begin{array}{crrrrrr}g& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ E_g& 181& 25& 7& 1& 1& 1\end{array}$$を得る。例えば$$E_3=2^3-E_6=7,E_2=3^3-E_4-E_6=25,$$最後に$$E_1=6^3-(25+7+1+1+1)=181$$である。

最大公約数が $g$ のとき，$d$ の選び方は $\lfloor 6\mathrm{/}g\rfloor$ 通りである。よって有利な4つ組は$$181\cdot 6+25\cdot 3+7\cdot 2+1+1+1=1178$$通りである。全事象は $6^4=1296$ 通りだから，求める確率は$$\frac{1178}{1296}=\frac{589}{648}\mathrm{.}$$