九州大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

$$i-\sqrt{3}=2(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}),1+i=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})$$である。両辺の絶対値を比較すると $2^m=(\sqrt{2}{)}^n=2^{n\mathrm{/}2}$ であるから $n=2m$ である。

次に偏角を比較する。複素数の等式では偏角は $2\pi$ の整数倍だけ違ってよいので $$\frac{5m\pi }{6}\equiv \frac{n\pi }{4}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$ である。$n=2m$ を代入すると $$\frac{5m\pi }{6}\equiv \frac{m\pi }{2}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$ すなわち $\frac{m\pi }{3}\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$ である。したがって $m$ は6の倍数でなければならない。$m$ が最小となるのは $m=6$ のときで、このとき $n=2m=12$ である。実際、絶対値はともに $64$、偏角は左辺が $5\pi$、右辺が $3\pi$ で、差は $2\pi$ であるから等しい。

よって である。

絶対値から $n=2m$ を得た後，両辺を $(1+i{)}^{2m}$ で割る。残る複素数を具体的に計算すると6乗して初めて1になる原始6乗根になるため，偏角の合同式を立てずに最小の $m$ を決められる。

両辺の絶対値を比較すると$$\mathrm{\mid }i-\sqrt{3}{\mathrm{\mid }}^m=\mathrm{\mid }1+i{\mathrm{\mid }}^n$$より$$2^m=(\sqrt{2}{)}^n\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{cccc}& n=2m\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(1)をもとの等式に代入し，$(1+i{)}^{2m}$ で割ると$${\left(\frac{i-\sqrt{3}}{(1+i{)}^2}\right)}^m=1.$$ここで$$(1+i{)}^2=2i$$だから$$\frac{i-\sqrt{3}}{2i}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}=:\omega \mathrm{.}$$直接計算すると$${\omega }^2=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},{\omega }^3=-1,{\omega }^6=1.$$したがって ${\omega }^m=1$ となる最小の自然数は $m=6$ である。(1)より $n=12$ となる。

ゆえにである。