九州大学 2017年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

2つの複素数 $α = 10000 + 10000 i$ と $w = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} i$ を用いて，複素数平面上の点 $P_{n} (z_{n})$ を $z_{n} = α w^{n}$ $(n = 1, 2, \dots)$ により定める。ただし， $i$ は虚数単位を表す。2と3の常用対数を $lo g_{10} 2 = 0.301$ ， $lo g_{10} 3 = 0.477$ として，以下の問いに答えよ。

(1) $z_{n}$ の絶対値 $∣ z_{n} ∣$ と偏角 $ar g z_{n}$ を求めよ。

(2) $∣ z_{n} ∣ ≦ 1$ が成り立つ最小の自然数 $n$ を求めよ。

(3) 下図のように，複素数平面上の $△ A B C$ は線分 $A B$ を斜辺とし，点 $C (\frac{i}{2})$ を一つの頂点とする直角二等辺三角形である。なお $A$ ， $B$ を表す複素数の虚部は負であり，原点 $O$ と2点 $A$ ， $B$ の距離はともに1である。点 $P_{n}$ が $△ A B C$ の内部に含まれる最小の自然数 $n$ を求めよ。

出典：九州大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

解法1

$α$ と $w$ を極形式に直し， $∣ z_{n} ∣$ は等比的に半減，偏角は $π /6$ ずつ増えることを使う。(2)は常用対数で $2^{n} ≧ 100002$ を判定する。(3)は図の直角二等辺三角形を座標で表し，内部条件を $y_{0} < y < 1/ 2 - ∣ x ∣$ に直す。 $n < 14$ は単位円の外， $n = 14$ は辺の外側， $n = 15$ は内部であることを順に確認する。

解法2

複素数の積を「絶対値の積・偏角の和」として処理する。(3)は三角形を3本の直線が作る半平面の共通部分として表し，候補 $n = 14, 15$ を座標で直接判定する。

解答

解法1

(1)

α = 10000 + 10000 i = 100002 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})

である。また

w = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} i = \frac{1}{2} (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})

である。したがって $z_{n} = α w^{n}$ より $∣ z_{n} ∣ = 100002 (\frac{1}{2})^{n}$ であり，偏角は $ar g z_{n} = \frac{π}{4} + \frac{nπ}{6}$ である。ただし偏角は $2 π$ の整数倍を除いて考える。

(2)

$∣ z_{n} ∣ ≦ 1$ は $100002 (\frac{1}{2})^{n} ≦ 1$ すなわち $2^{n} ≧ 100002$ と同値である。常用対数をとると $0.301 n ≧ 4 + \frac{1}{2} \cdot 0.301 = 4.1505$ である。ここで $0.301 \cdot 13 = 3.913 < 4.1505, 0.301 \cdot 14 = 4.214 > 4.1505$ なので，最小の自然数は $14$ である。

(3)

まず三角形の頂点を座標で表す。 $C = (0, 1/ 2)$ とし， $A, B$ は単位円上で虚部が負，かつ $A B$ が斜辺である。対称性より $A = (- x_{0}, y_{0}), B = (x_{0}, y_{0})$ とおける。 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ より，直線 $C A$ と $C B$ の傾きはそれぞれ $1, - 1$ となるので $x_{0} = \frac{6 + 2}{4}, y_{0} = \frac{2 - 6}{4}$ である。したがって三角形の内部は $y_{0} < y < \frac{1}{2} - ∣ x ∣$ で表される。

(2)より， $n < 14$ では $∣ z_{n} ∣ > 1$ である。三角形は単位円の内部または周上にあるので，この場合 $P_{n}$ は三角形の内部に入らない。 $n = 14$ のとき $ar g z_{14} = \frac{π}{4} + \frac{14 π}{6} \equiv \frac{7 π}{12}$ である。この方向では $x < 0$ なので，上側の辺は $y = x + \frac{1}{2}$ である。半直線 $ar g z = \frac{7 π}{12}$ がこの辺と交わる半径を $r$ とすると $r sin \frac{7 π}{12} = r cos \frac{7 π}{12} + \frac{1}{2}$ であるから

r = \frac{1/ 2}{sin \frac{7 π}{12} - cos \frac{7 π}{12}} = \frac{1}{3}

である。一方 $∣ z_{14} ∣ = \frac{10000 2}{2 ^{14}} > \frac{1}{3}$ である。実際，これは $100006 > 2^{14}$ であり， $100006 > 20000 > 16384 = 2^{14}$ から成り立つ。よって $P_{14}$ は三角形の外にある。 $n = 15$ のとき $ar g z_{15} = \frac{π}{4} + \frac{15 π}{6} \equiv \frac{3 π}{4}$ である。この方向の上側の辺までの半径は $\frac{1/ 2}{s i n \frac{3 π}{4} - c o s \frac{3 π}{4}} = \frac{1}{2}$ である。また(2)で確認した $2^{14} > 100002$ より $∣ z_{15} ∣ = \frac{10000 2}{2 ^{15}} < \frac{1}{2}$ である。さらに $ar g z_{15} = \frac{3 π}{4}$ では $y > 0 > y_{0}$ であるから，下側の辺 $A B$ より上にある。したがって $P_{15}$ は三角形の内部に含まれる。

以上より，求める最小の自然数は $15$ である。

解法2

(1)

α = 100002 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}), w = \frac{1}{2} (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})

なので，

∣ z_{n} ∣ = \frac{10000 2}{2 ^{n}}, ar g z_{n} \equiv \frac{π}{4} + \frac{nπ}{6} (mod 2 π) .

(2)

$2^{n} ≧ 100002$ を解く。常用対数より

13 lo g_{10} 2 = 3.913 < 4.1505 < 4.214 = 14 lo g_{10} 2.

したがって最小の $n$ は $14$ である。

(3)

頂点は

A = (- x_{0}, y_{0}), B = (x_{0}, y_{0}), C = (0, \frac{1}{2}),

ただし

x_{0} = \frac{6 + 2}{4}, y_{0} = \frac{2 - 6}{4} .

内部条件は $y > y_{0}, y < 1/ 2 - ∣ x ∣$ である。 $n < 14$ では $∣ z_{n} ∣ > 1$ なので単位円内の三角形には入らない。 $n = 14$ の偏角は $7 π /12$ で，その半直線と上辺との交点までの距離は $1/ 3$ である。一方

∣ z_{14} ∣ = \frac{10000 2}{2 ^{14}} > \frac{1}{3},

ゆえに外部にある。 $n = 15$ の偏角は $3 π /4$ で，上辺までの距離は $1/2$ である。また

∣ z_{15} ∣ = \frac{10000 2}{2 ^{15}} < \frac{1}{2}

かつ虚部は正なので下辺より上にある。したがって最小の $n$ は $15$ である。

九州大学 2017年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

九州大学 2017年度
理系数学前期第5問