九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$\alpha =0$ のとき、方程式は$$i\bar{z}=0$$となるので $z=0$ である。

以下、$\alpha \mathrm{\ne }0$ とし、$$A=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid },r=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$$と置く。両辺の絶対値を取ると$$A(r^2+2)=(2A^2+1)r$$である。よって$$A{r}^2-(2A^2+1)r+2A=0$$となり、$$(r-2A)(r-\frac{1}{A})=0$$を得る。

一方、元の式から$$\bar{z}=\frac{i\alpha (r^2+2)}{2A^2+1}$$なので$$z=-\frac{i\bar{\alpha }(r^2+2)}{2A^2+1}$$である。$r=2A$ のとき係数は2となり$$z=-2i\bar{\alpha }$$を得る。$r=1\mathrm{/}A$ のとき係数は $1\mathrm{/}{A}^2$ となり$$z=-\frac{i\bar{\alpha }}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}$$を得る。

したがって$$\{\begin{array}{ll}z=0,& \alpha =0,\\ z=-2i\bar{\alpha },z=-{\displaystyle \frac{i\bar{\alpha }}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}},& \alpha \mathrm{\ne }0.\end{array}$$ただし $\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2=1\mathrm{/}2$ のとき、後の2つは同じ解である。

方程式の係数が正の実数であることから、$z$ の向きが $-i\bar{\alpha }$ と一致すると先に読む。$z=-it\bar{\alpha }$ と置けば、未知量は正の実数 $t$ だけになり、二次方程式が直接因数分解できる。

$\alpha =0$ の場合は解法1と同じく $z=0$ である。以下、$\alpha \mathrm{\ne }0$ とする。

元の式を $\bar{z}$ について解くと$$z=-i\bar{\alpha }\frac{\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2+2}{2\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2+1}$$である。右辺で分数部分は正の実数だから、ある $t>0$ を用いて$$z=-it\bar{\alpha }$$と書ける。このとき$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=t\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }$$であり、元の式から$$t=\frac{t^2\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2+2}{2\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2+1}$$を得る。整理すると$$\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2{t}^2-(2\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2+1)t+2=0$$であり、$$(t-2)(\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^{2}t-1)=0$$と因数分解できる。

したがって$$t=2$$または$$t=\frac{1}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}$$である。よって$$z=-2i\bar{\alpha }$$または$$z=-\frac{i\bar{\alpha }}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}$$となる。$\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2=1\mathrm{/}2$ のときは $t$ の2候補が一致する。