九州大学 2018年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$α$ を複素数とする。等式

α (∣ z ∣^{2} + 2) + i (2 ∣ α ∣^{2} + 1) \overline{z} = 0

を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ。ただし， $i$ は虚数単位である。

出典：九州大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

まず $α = 0$ を分ける。 $α \neq = 0$ では両辺の絶対値を取り、 $A = ∣ α ∣$ 、 $r = ∣ z ∣$ の二次方程式を解く。得られた半径を元の複素数方程式へ戻して $z$ の偏角まで決める。

方程式の係数が正の実数であることから、 $z$ の向きが $- i \overline{α}$ と一致すると先に読む。 $z = - i t \overline{α}$ と置けば、未知量は正の実数 $t$ だけになり、二次方程式が直接因数分解できる。

$α = 0$ のとき、方程式は

i \overline{z} = 0

となるので $z = 0$ である。

以下、 $α \neq = 0$ とし、

A = ∣ α ∣, r = ∣ z ∣

と置く。両辺の絶対値を取ると

A (r^{2} + 2) = (2 A^{2} + 1) r

である。よって

A r^{2} - (2 A^{2} + 1) r + 2 A = 0

となり、

(r - 2 A) (r - \frac{1}{A}) = 0

を得る。

一方、元の式から

\overline{z} = \frac{i α ( r ^{2} + 2 )}{2 A ^{2} + 1}

なので

z = - \frac{i α ( r ^{2} + 2 )}{2 A ^{2} + 1}

である。 $r = 2 A$ のとき係数は2となり

z = - 2 i \overline{α}

を得る。 $r = 1/ A$ のとき係数は $1/ A^{2}$ となり

z = - \frac{i α}{∣ α ∣ ^{2}}

を得る。

したがって

⎩ ⎨ ⎧ z = 0, z = - 2 i \overline{α}, z = - \frac{i α}{∣ α ∣ ^{2}}, α = 0, α \neq = 0.

ただし $∣ α ∣^{2} = 1/2$ のとき、後の2つは同じ解である。

$α = 0$ の場合は解法1と同じく $z = 0$ である。以下、 $α \neq = 0$ とする。

元の式を $\overline{z}$ について解くと

z = - i \overline{α} \frac{∣ z ∣ ^{2} + 2}{2∣ α ∣ ^{2} + 1}

である。右辺で分数部分は正の実数だから、ある $t > 0$ を用いて

z = - i t \overline{α}

と書ける。このとき

∣ z ∣ = t ∣ α ∣

であり、元の式から

t = \frac{t ^{2} ∣ α ∣ ^{2} + 2}{2∣ α ∣ ^{2} + 1}

を得る。整理すると

∣ α ∣^{2} t^{2} - (2∣ α ∣^{2} + 1) t + 2 = 0

であり、

(t - 2) (∣ α ∣^{2} t - 1) = 0

と因数分解できる。

したがって

t = 2

または

t = \frac{1}{∣ α ∣ ^{2}}

である。よって

z = - 2 i \overline{α}

または

z = - \frac{i α}{∣ α ∣ ^{2}}

となる。 $∣ α ∣^{2} = 1/2$ のときは $t$ の2候補が一致する。