九州大学 2018年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

実数 $a$ ， $b$ と虚数単位 $i$ を用いて複素数 $z$ が $z = a + bi$ の形で表されるとき， $a$ を $z$ の実部といい $a = Re z$ と書き表し， $b$ を $z$ の虚部といい $b = Im z$ と書き表す。また $z$ の絶対値を $∣ z ∣$ で表す。以下の問いに答えよ。

(1)複素数 $u = \frac{5 + 5 3 i}{2 + 2 i}$ を極形式で表せ。

(2)条件 $Re w ≦ 0$ ， $Im w ≧ 0$ ， $40 ≦ ∣ w ∣ ≦ 135$ を満たす複素数 $w$ 全体のなす領域

D = {w ∣ Re w ≦ 0, Im w ≧ 0, 40 ≦ ∣ w ∣ ≦ 135}

を考える。このとき， $z^{3} u$ が $D$ に属するような複素数 $z$ 全体のなす領域

A = {z ∣ z^{3} u \in D}

を図示せよ。

(3)複素数 $z$ が領域 $A$ 上を動くとき， $z$ と $- 2$ との距離が最小になるような $z$ を求めよ。解答に極形式を用いてよい。

出典：九州大学 2018年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

解法1

$u$ の絶対値と偏角を求める。 $z = ρ (cos θ + i sin θ)$ と置き、 $z^{3} u \in D$ を半径条件と偏角条件へ分ける。3乗による3つの扇形を図示し、 $- 2$ に最も近い扇形の端点と半径を確認する。

解法2

(1)(2) は極形式で写像 $z \mapsto z^{3} u$ の逆像を求める。(3) では距離の2乗 $ρ^{2} + 4 + 4 ρ cos θ$ を角度、半径の順に最小化し、図形的な射影を式で確認する。

解答

解法1

(1)

分子と分母は

5 + 53 i = 10 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})

および

2 + 2 i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})

だから

u = 5 (cos \frac{π}{12} + i sin \frac{π}{12})

である。

(2)

z = ρ (cos θ + i sin θ)

と置くと

z^{3} u = 5 ρ^{3} {cos (3 θ + \frac{π}{12}) + i sin (3 θ + \frac{π}{12})}

である。半径条件は

40 ≦ 5 ρ^{3} ≦ 135

より

2 ≦ ρ ≦ 3

となる。偏角条件は

\frac{π}{2} + 2 k π ≦ 3 θ + \frac{π}{12} ≦ π + 2 k π

なので

\frac{5 π}{36} + \frac{2 k π}{3} ≦ θ ≦ \frac{11 π}{36} + \frac{2 k π}{3}

である。 $0 ≦ θ < 2 π$ では

\frac{5 π}{36} \frac{29 π}{36} \frac{53 π}{36} ≦ θ ≦ \frac{11 π}{36}, ≦ θ ≦ \frac{35 π}{36}, ≦ θ ≦ \frac{59 π}{36}

の3領域になる。

(3)

$- 2$ の偏角は $π$ である。これに最も近い領域は第2の扇形で、最も近い境界角は

θ = \frac{35 π}{36}

である。この半直線への $- 2$ の射影の半径は

2 cos \frac{π}{36} < 2

であり、領域の半径は2以上なので、最短点は内側の円周上にある。よって

z = 2 (cos \frac{35 π}{36} + i sin \frac{35 π}{36})

である。

解法2

(1)

絶対値と偏角の商から

∣ u ∣ = 5, ar g u = \frac{π}{12}

である。したがって

u = 5 (cos \frac{π}{12} + i sin \frac{π}{12})

となる。

(2)

$z = ρ (cos θ + i sin θ)$ と書けば

z^{3} u = 5 ρ^{3} {cos (3 θ + \frac{π}{12}) + i sin (3 θ + \frac{π}{12})}

である。 $D$ の半径は $40$ 以上 $135$ 以下、偏角は $π /2$ 以上 $π$ 以下なので、

2 ≦ ρ ≦ 3

かつ

\frac{5 π}{36} + \frac{2 k π}{3} ≦ θ ≦ \frac{11 π}{36} + \frac{2 k π}{3}

となる。したがって $A$ は、解法1の図に示した3つの閉じた扇形領域である。

(3)

z = ρ (cos θ + i sin θ)

に対して

∣ z + 2 ∣^{2} = ρ^{2} + 4 + 4 ρ cos θ

である。3つの扇形のうち $θ = π$ に最も近いのは

\frac{29 π}{36} ≦ θ ≦ \frac{35 π}{36}

であり、この範囲では $θ = 35 π /36$ のとき距離が最小になる。

この角度を固定すると

∣ z + 2 ∣^{2} = ρ^{2} + 4 - 4 ρ cos \frac{π}{36}

である。平方完成すると、制約がなければ

ρ = 2 cos \frac{π}{36} < 2

で最小になる。しかし $2 ≦ ρ ≦ 3$ だから、制約内では $ρ = 2$ が最小である。よって

z = 2 (cos \frac{35 π}{36} + i sin \frac{35 π}{36})

となる。

九州大学 2018年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

九州大学 2018年度
後期・理系数学後期第2問