九州大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) 分子と分母は$$5+5\sqrt{3}i=10(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})$$および$$\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})$$だから$$u=5(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12})$$である。

(2) $$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$$と置くと$$z^{3}u=5{\rho }^3\{\cos (3\theta +\frac{\pi }{12})+i\sin (3\theta +\frac{\pi }{12})\}$$である。半径条件は$$40\leqq 5{\rho }^3\leqq 135$$より$$2\leqq \rho \leqq 3$$となる。偏角条件は$$\frac{\pi }{2}+2k\pi \leqq 3\theta +\frac{\pi }{12}\leqq \pi +2k\pi$$なので$$\frac{5\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}\leqq \theta \leqq \frac{11\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$$である。$0\leqq \theta <2\pi$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{5\pi }{36}}& {\displaystyle \leqq \theta \leqq \frac{11\pi }{36},}\\ {\displaystyle \frac{29\pi }{36}}& {\displaystyle \leqq \theta \leqq \frac{35\pi }{36},}\\ {\displaystyle \frac{53\pi }{36}}& {\displaystyle \leqq \theta \leqq \frac{59\pi }{36}}\end{array}$$の3領域になる。

(3) $-2$ の偏角は $\pi$ である。これに最も近い領域は第2の扇形で、最も近い境界角は$$\theta =\frac{35\pi }{36}$$である。この半直線への $-2$ の射影の半径は$$2\cos \frac{\pi }{36}<2$$であり、領域の半径は2以上なので、最短点は内側の円周上にある。よって$$z=2(\cos \frac{35\pi }{36}+i\sin \frac{35\pi }{36})$$である。

(1) (2) は極形式で写像 $z\mapsto z^{3}u$ の逆像を求める。(3) では距離の2乗 ${\rho }^2+4+4\rho \cos \theta$ を角度、半径の順に最小化し、図形的な射影を式で確認する。

(1) 絶対値と偏角の商から$$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=5,\arg u=\frac{\pi }{12}$$である。したがって$$u=5(\cos \frac{\pi }{12}+i\sin \frac{\pi }{12})$$となる。

(2) $$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$$ と書けば$$z^{3}u=5{\rho }^3\{\cos (3\theta +\frac{\pi }{12})+i\sin (3\theta +\frac{\pi }{12})\}$$である。$D$ の半径は $40$ 以上 $135$ 以下、偏角は $\pi \mathrm{/}2$ 以上 $\pi$ 以下なので、$$2\leqq \rho \leqq 3$$かつ$$\frac{5\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}\leqq \theta \leqq \frac{11\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$$となる。したがって $A$ は、解法1の図に示した3つの閉じた扇形領域である。

(3) $$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$$に対して$$\mathrm{\mid }z+2{\mathrm{\mid }}^2={\rho }^2+4+4\rho \cos \theta$$である。3つの扇形のうち $\theta =\pi$ に最も近いのは$$\frac{29\pi }{36}\leqq \theta \leqq \frac{35\pi }{36}$$であり、この範囲では $\theta =35\pi \mathrm{/}36$ のとき距離が最小になる。

この角度を固定すると$$\mathrm{\mid }z+2{\mathrm{\mid }}^2={\rho }^2+4-4\rho \cos \frac{\pi }{36}$$である。平方完成すると、制約がなければ$$\rho =2\cos \frac{\pi }{36}<2$$で最小になる。しかし $2\leqq \rho \leqq 3$ だから、制約内では $\rho =2$ が最小である。よって$$z=2(\cos \frac{35\pi }{36}+i\sin \frac{35\pi }{36})$$となる。