九州大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

等差数列の一般項は $a_n=1+4(n-1)=4n-3$ である。

(1) $a_n$が7の倍数である条件は $4n-3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ である。$4\cdot 2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$なので $n\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ である。$1\leqq n\leqq 600$でこれを満たす$n$は $6,13,20,\dots ,594$ であり，個数は $$\frac{594-6}{7}+1=85$$ である。

(2) $a_n$が$7^2=49$の倍数である条件は $4n-3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}49)$ である。$4\cdot 37\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}49)$より $n\equiv 3\cdot 37\equiv 13(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}49)$ である。したがって$1\leqq n\leqq 600$で該当するものは $13,62,111,\dots ,552$ であり，個数は $$\frac{552-13}{49}+1=12$$ である。

(3)
積$a_1{a}_2\cdots a_n$に含まれる7の個数は，$a_j$が7で割れる回数を合計したものである。したがって，$n$項までにある7の倍数の個数，49の倍数の個数，343の倍数の個数を加えればよい。なお，$4n-3=2401$となるのは$n=601$なので，今回の最小値付近では$7^4$の倍数は現れない。 $343$の倍数である条件は $4n-3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}343)$ であり，これは $n\equiv 258(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}343)$ である。実際，$$4\cdot 258-3=1029=343\cdot 3$$である。 $n=264$まででは，7の倍数は $6,13,\dots ,258$ の37個，49の倍数は $13,62,\dots ,258$ の6個，343の倍数は$n=258$の1個である。よって7の指数は $37+6+1=44$ であり，まだ足りない。 $n=265$になると，$$a_{265}=4\cdot 265-3=1057=7\cdot 151$$が新たに7の倍数として加わる。したがって7の指数は $38+6+1=45$ となる。よって求める最小の自然数は $265$ である。

$a_j=4j-3$ とし，各 $7^r$ で割れる添字を1つの等差数列として数える。(3)は積に含まれる7の指数を，7・49・343の倍数項の個数の和として評価する。

一般項は $a_j=4j-3$ である。

(1) $4j-3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ を解くと $j\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$ である。600以下では$$6,13,\dots ,594$$の85個である。

(2) $4j-3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}49)$ を解くと $j\equiv 13(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}49)$ である。600以下では$$13,62,\dots ,552$$の12個である。

(3) $4j-3$ が343の倍数となる最初の添字は $j=258$ である。$n=264$ までに，7の倍数項は37個，49の倍数項は6個，343の倍数項は1個ある。したがって$$v_7(a_1{a}_2\cdots a_{264})=37+6+1=44.$$次の項は $a_{265}=1057=7\cdot 151$ なので指数が1だけ増え，$$v_7(a_1{a}_2\cdots a_{265})=45.$$よって最小の $n$ は $265$ である。