九州大学 2018年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

5人に「あなたの年齢は20代ですか」という質問をする。ただし，各回答者は，「はい」か「いいえ」と答える前にさいころを振り，1または2の目が出たときは正直に答え，3以上の目が出たときは，うその答えを言うものとする。以下の問いに答えよ。

(1)5人のうち20代が1人もいないとき，「はい」と答える人数が3である確率を求めよ。

(2)5人のうち20代がちょうど1人のとき，「はい」と答える人数が3である確率を求めよ。

(3)5人の回答者は街頭調査で出会った人たちとする。ただし，同じ人と繰り返し出会うこともあるとする。街頭調査で出会う人が20代である確率が $p$ のとき，「はい」と答える人数が3である確率を求めよ。

(4)(3)の確率が最大となる $p$ を求めよ。

出典：九州大学 2018年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

解法1

20代なら「はい」の確率は $1/3$ 、20代でなければ $2/3$ である。(1)(2) は「はい」の人数を場合分けし、(3) は1人あたりの周辺確率を求めて二項分布にする。(4) は「はい」の確率 $q$ に変数を替えて微分する。

解法2

「いいえ」「はい」の確率をそれぞれ定数項・一次項とする生成多項式を使い、 $x^{3}$ の係数として (1)〜(3) を統一する。(4) は重み付き相加平均・相乗平均で微分せずに最大化する。

解答

解法1

(1)

20代でない人が「はい」と答える確率は、うそを言う確率

\frac{4}{6} = \frac{2}{3}

である。よって

_{5} C_{3} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3})^{2} = \frac{80}{243}

となる。

(2)

20代の1人が「はい」と答える確率は $1/3$ 、他の4人が「はい」と答える確率は $2/3$ である。20代の人の答えで分けると

\frac{1}{3} \cdot_{4} C_{2} (\frac{2}{3})^{2} (\frac{1}{3})^{2} + \frac{2}{3} \cdot_{4} C_{3} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3}) = \frac{88}{243}

である。

(3)

1人が「はい」と答える確率は

p \cdot \frac{1}{3} + (1 - p) \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 - p}{3}

である。したがって5人中3人が「はい」と答える確率は

_{5} C_{3} (\frac{2 - p}{3})^{3} (\frac{1 + p}{3})^{2}

となる。

(4)

q = \frac{2 - p}{3}

と置くと $1/3 ≦ q ≦ 2/3$ であり、最大化する部分は

h (q) = q^{3} (1 - q)^{2}

である。微分すると

h^{'} (q) = q^{2} (1 - q) (3 - 5 q)

だから $q = 3/5$ で最大になる。よって

\frac{2 - p}{3} = \frac{3}{5}

から

p = \frac{1}{5}

を得る。

解法2

回答1人について、「いいえ」の確率を定数項、「はい」の確率を $x$ の係数とする。

(1)

全員が20代でないので、5人の回答の生成多項式は

(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x)^{5}

である。「はい」が3人となる確率は $x^{3}$ の係数だから

_{5} C_{3} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3})^{2} = \frac{80}{243}

である。

(2)

20代の1人と、それ以外の4人に分けると

(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} x) (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x)^{4}

となる。 $x^{3}$ の係数は

\frac{1}{3} \cdot_{4} C_{2} (\frac{2}{3})^{2} (\frac{1}{3})^{2} + \frac{2}{3} \cdot_{4} C_{3} (\frac{2}{3})^{3} (\frac{1}{3}) = \frac{88}{243}

である。

(3)

1人あたりの「はい」の確率を

q = \frac{2 - p}{3}

とすると、「いいえ」の確率は

1 - q = \frac{1 + p}{3}

である。よって $x^{3}$ の係数は

_{5} C_{3} q^{3} (1 - q)^{2} =_{5} C_{3} (\frac{2 - p}{3})^{3} (\frac{1 + p}{3})^{2}

となる。

(4)

正の5数

\frac{q}{3}, \frac{q}{3}, \frac{q}{3}, \frac{1 - q}{2}, \frac{1 - q}{2}

の和は1である。相加平均・相乗平均より

(\frac{q}{3})^{3} (\frac{1 - q}{2})^{2} ≦ (\frac{1}{5})^{5}

で、等号は

\frac{q}{3} = \frac{1 - q}{2}

のときに成り立つ。したがって $q = 3/5$ 、ゆえに

p = \frac{1}{5}

である。

九州大学 2018年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2018年度
後期・理系数学後期第3問