九州大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) 20代でない人が「はい」と答える確率は、うそを言う確率$$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$である。よって$${}_5{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{2}{3}\right)}^3{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{80}{243}$$となる。

(2) 20代の1人が「はい」と答える確率は $1\mathrm{/}3$、他の4人が「はい」と答える確率は $2\mathrm{/}3$ である。20代の人の答えで分けると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \frac{1}{3}\cdot {}_4{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +\frac{2}{3}\cdot {}_4{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{2}{3}\right)}^3\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{88}{243}}\end{array}$$である。

(3) 1人が「はい」と答える確率は$$p\cdot \frac{1}{3}+(1-p)\cdot \frac{2}{3}=\frac{2-p}{3}$$である。したがって5人中3人が「はい」と答える確率は$${}_5{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{2-p}{3}\right)}^3{\left(\frac{1+p}{3}\right)}^2$$となる。

(4) $$q=\frac{2-p}{3}$$と置くと $1\mathrm{/}3\leqq q\leqq 2\mathrm{/}3$ であり、最大化する部分は$$h(q)=q^3(1-q{)}^2$$である。微分すると$$h^{\mathrm{\prime }}(q)=q^2(1-q)(3-5q)$$だから $q=3\mathrm{/}5$ で最大になる。よって$$\frac{2-p}{3}=\frac{3}{5}$$から$$p=\frac{1}{5}$$を得る。

「いいえ」「はい」の確率をそれぞれ定数項・一次項とする生成多項式を使い、$x^3$ の係数として (1)〜(3) を統一する。(4) は重み付き相加平均・相乗平均で微分せずに最大化する。

回答1人について、「いいえ」の確率を定数項、「はい」の確率を $x$ の係数とする。

(1) 全員が20代でないので、5人の回答の生成多項式は$${(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x)}^5$$である。「はい」が3人となる確率は $x^3$ の係数だから$${}_5{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{2}{3}\right)}^3{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{80}{243}$$である。

(2) 20代の1人と、それ以外の4人に分けると$$(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}x){(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x)}^4$$となる。$x^3$ の係数は$$\frac{1}{3}\cdot {}_4{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{2}{3}\cdot {}_4{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{2}{3}\right)}^3\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{88}{243}$$である。

(3) 1人あたりの「はい」の確率を$$q=\frac{2-p}{3}$$とすると、「いいえ」の確率は$$1-q=\frac{1+p}{3}$$である。よって $x^3$ の係数は$${}_5{\mathrm{C}}_3{q}^3(1-q{)}^2={}_5{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{2-p}{3}\right)}^3{\left(\frac{1+p}{3}\right)}^2$$となる。

(4) 正の5数$$\frac{q}{3},\frac{q}{3},\frac{q}{3},\frac{1-q}{2},\frac{1-q}{2}$$の和は1である。相加平均・相乗平均より$${\left(\frac{q}{3}\right)}^3{\left(\frac{1-q}{2}\right)}^2\leqq {\left(\frac{1}{5}\right)}^5$$で、等号は$$\frac{q}{3}=\frac{1-q}{2}$$のときに成り立つ。したがって $q=3\mathrm{/}5$、ゆえに$$p=\frac{1}{5}$$である。