問題
原点を中心とする半径3の半円上の2点とに対し，線分をに内分する点をとする。以下の問いに答えよ。
(1)点の座標との座標が等しく，かつの座標はの座標より小さくなるようにとが動くものとする。このとき，線分が通過してできる図形の面積を求めよ。
(2)点をに固定する。が半円上を動くとき線分が通過してできる図形の面積を求めよ。
(3)(1)の図形から(2)の図形を除いた図形と第1象限の共通部分をとする。を軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。
方針
解法1
(1) は同じ高さの2点を と置き、高さごとの線分 の横幅を積分する。(2) は の軌跡が半径2の半円になることから通過領域を決める。(3) は第1象限で の右端を比較し、 軸に垂直な円板・円環で体積を求める。
解法2
(1)(2) は内分点の軌跡を高さごとの区間または相似変換として捉える。(3) は を回転する代わりに、 の第1象限部分の回転体から の第1象限部分の回転体を引く。前者は円板法、後者は円筒殻法で計算する。
解答
解法1
(1)
と置く。 だから
である。高さ において線分 が通る範囲は
なので
となる。
(2)
、 と置くと
である。したがって は
の半円弧上を動く。左端 からこの半円弧へ引いた線分全体は半円板を埋めるので
である。よって
となる。
(3)
第1象限での の右端と の右端は
である。ただし となるのは である。領域 は次の青色部分になる。
したがって回転体積は
である。すなわち
となる。計算すると
および
だから
である。
解法2
(1)
高さ における半円の左右端を
とすると、内分点 の横座標は右端の である。よって の長さは
となる。これを で積分し、
を得る。
(2)
写像
は中心 、比 の相似変換である。半径3の半円 は、中心 、半径2の半円へ移る。さらに と弧上の点を結ぶ線分が内部を埋めるので、 はこの半円板であり、
である。
(3)
の第1象限部分を回転した体積は
である。一方、 の第1象限部分は
である。これを 軸のまわりに回転し、円筒殻法を使うと
となる。 と置けば
である。したがって
を得る。