九州大学 2018年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

1から4までの数字を1つずつ書いた4枚のカードが箱に入っている。箱の中から1枚カードを取り出してもとに戻す試行を $n$ 回続けて行う。 $k$ 回目に取り出したカードの数字を $X_{k}$ とし，積 $X_{1} X_{2} \dots X_{n}$ を4で割った余りが0，1，2，3である確率をそれぞれ $p_{n}$ ， $q_{n}$ ， $r_{n}$ ， $s_{n}$ とする。 $p_{n}$ ， $q_{n}$ ， $r_{n}$ ， $s_{n}$ を求めよ。

出典：九州大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

解法1

余り0以外を出方から直接数える。余り1・3は全て奇数で3の個数の偶奇を分け、余り2は2がちょうど1回で残りが奇数の場合に限る。最後に全体から引いて余り0を求める。

解法2

余り $0, 1, 2, 3$ を状態とし、カードを1枚追加したときの遷移を漸化式にする。対称性から $q_{n} = s_{n}$ を先に解き、その結果を $r_{n}$ の漸化式へ代入する。

解答

解法1

全事象は $4^{n}$ 通りである。

積が奇数になるのは、全てのカードが $1$ または $3$ の場合に限る。その $2^{n}$ 通りのうち、3の個数が偶数なら余り1、奇数なら余り3となる。両者は同数で、それぞれ $2^{n - 1}$ 通りだから

q_{n} = s_{n} = \frac{2 ^{n - 1}}{4 ^{n}} = \frac{1}{2 ^{n + 1}}

である。

余り2となるのは、カード2がちょうど1回現れ、残りが全て1または3の場合に限る。2の位置が $n$ 通り、残りの選び方が $2^{n - 1}$ 通りなので

r_{n} = \frac{n 2 ^{n - 1}}{4 ^{n}} = \frac{n}{2 ^{n + 1}}

である。

したがって

p_{n} = 1 - q_{n} - r_{n} - s_{n} = 1 - \frac{n + 2}{2 ^{n + 1}}

となる。

解法2

1回目は各カードが同確率なので

p_{1} = q_{1} = r_{1} = s_{1} = \frac{1}{4}

である。積の余りが1になるには、直前の余りが1で次に1を引くか、直前の余りが3で次に3を引けばよい。余り3についても同様だから

q_{n + 1} = \frac{q _{n} + s _{n}}{4}, s_{n + 1} = \frac{q _{n} + s _{n}}{4}

である。初項から $q_{n} = s_{n}$ であり、

q_{n + 1} = s_{n + 1} = \frac{1}{2} q_{n}

となる。よって

q_{n} = s_{n} = \frac{1}{2 ^{n + 1}}

である。

次に余り2になるのは、直前の余り2に奇数を掛ける場合、または直前の余り1・3に2を掛ける場合である。したがって

r_{n + 1} = \frac{1}{2} r_{n} + \frac{1}{4} (q_{n} + s_{n}) = \frac{1}{2} r_{n} + \frac{1}{2 ^{n + 2}}

となる。 $r_{1} = 1/4$ から帰納的に

r_{n} = \frac{n}{2 ^{n + 1}}

を得る。最後に確率の和が1であることから

p_{n} = 1 - q_{n} - r_{n} - s_{n} = 1 - \frac{n + 2}{2 ^{n + 1}}

である。

九州大学 2018年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

九州大学 2018年度
理系数学前期第3問