九州大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

全事象は $4^n$ 通りである。

積が奇数になるのは、全てのカードが $1$ または $3$ の場合に限る。その $2^n$ 通りのうち、3の個数が偶数なら余り1、奇数なら余り3となる。両者は同数で、それぞれ $2^{n-1}$ 通りだから$$q_n=s_n=\frac{2^{n-1}}{4^n}=\frac{1}{2^{n+1}}$$である。

余り2となるのは、カード2がちょうど1回現れ、残りが全て1または3の場合に限る。2の位置が $n$ 通り、残りの選び方が $2^{n-1}$ 通りなので$$r_n=\frac{n{2}^{n-1}}{4^n}=\frac{n}{2^{n+1}}$$である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle =1-q_n-r_n-s_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-\frac{n+2}{2^{n+1}}}\end{array}$$となる。

余り $0,1,2,3$ を状態とし、カードを1枚追加したときの遷移を漸化式にする。対称性から $q_n=s_n$ を先に解き、その結果を $r_n$ の漸化式へ代入する。

1回目は各カードが同確率なので$$p_1=q_1=r_1=s_1=\frac{1}{4}$$である。積の余りが1になるには、直前の余りが1で次に1を引くか、直前の余りが3で次に3を引けばよい。余り3についても同様だから$$q_{n+1}=\frac{q_n+s_n}{4},s_{n+1}=\frac{q_n+s_n}{4}$$である。初項から $q_n=s_n$ であり、$$q_{n+1}=s_{n+1}=\frac{1}{2}{q}_n$$となる。よって$$q_n=s_n=\frac{1}{2^{n+1}}$$である。

次に余り2になるのは、直前の余り2に奇数を掛ける場合、または直前の余り1・3に2を掛ける場合である。したがって$$r_{n+1}=\frac{1}{2}{r}_n+\frac{1}{4}(q_n+s_n)=\frac{1}{2}{r}_n+\frac{1}{2^{n+2}}$$となる。$r_1=1\mathrm{/}4$ から帰納的に$$r_n=\frac{n}{2^{n+1}}$$を得る。最後に確率の和が1であることから$$p_n=1-q_n-r_n-s_n=1-\frac{n+2}{2^{n+1}}$$である。