九州大学 2020年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

座標平面上の曲線 $C_{1}$ と $C_{2}$ をそれぞれ

C_{1} : y = a x^{n} (x > 0)

C_{2} : y = lo g x (x > 0)

とする。ただし， $n$ を2以上の整数， $a$ を実数とする。以下の問いに答えよ。

(1) $x > 0$ のとき， $lo g x < x$ が成り立つことを証明せよ。

(2) 曲線 $C_{1}$ と $C_{2}$ が異なる2点で交わるための $a$ の条件を $n$ を使って表せ。

(3) $a$ が(2)で求めた条件を満たすとする。曲線 $C_{1}$ と $C_{2}$ の異なる2つの交点 $P$ ， $Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p$ ， $q$ とする。ただし $p < q$ とする。このとき，

p < \frac{q - p}{a ( q ^{n} - p ^{n} )} < q

が成り立つことを証明せよ。

出典：九州大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

解法1（対数をx^nで割った関数を微分する）

交点条件を $a = lo g x / x^{n}$ と変形し、この関数の増減と値域を調べる。(3)では交点条件の差から分母を $lo g q - lo g p$ に置き換え、 $1/ x$ の定積分を上下から評価する。

解法2（積分表示と平均値の定理を使う）

(1)は対数の積分表示で示す。(2)は交点を水平線と $ϕ (x) = lo g x / x^{n}$ の交点として数える。(3)は対数関数に平均値の定理を適用し、求める中間量そのものが $p$ と $q$ の間の点になることを示す。

解答

解法1（対数をx^nで割った関数を微分する）

(1)

$h (x) = x - lo g x (x > 0)$ とおく。すると $h^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ である。よって $0 < x < 1$ で $h^{'} (x) < 0$ 、 $x > 1$ で $h^{'} (x) > 0$ となり、 $h (x)$ は $x = 1$ で最小となる。 $h (1) = 1$ であるから、すべての $x > 0$ について $x - lo g x ≧ 1 > 0$ である。したがって $lo g x < x$ が成り立つ。

(2)

交点の $x$ 座標は $a x^{n} = lo g x$ を満たす。 $x > 0$ であるから、これは $a = \frac{l o g x}{x ^{n}}$ と書ける。そこで $ϕ (x) = \frac{l o g x}{x ^{n}} (x > 0)$ とおく。

微分すると $ϕ^{'} (x) = \frac{1 - n l o g x}{x ^{n + 1}}$ である。したがって $ϕ (x)$ は $x = e^{1/ n}$ で最大となり、その最大値は $ϕ (e^{1/ n}) = \frac{1/ n}{e} = \frac{1}{n e}$ である。また、 $0 < x < 1$ では $lo g x < 0$ なので $ϕ (x) < 0$ 、 $x = 1$ で $ϕ (x) = 0$ 、 $x > 1$ で $ϕ (x) > 0$ である。さらに $lim_{x \to \infty} ϕ (x) = 0$ である。

よって、水平線 $y = a$ が $y = ϕ (x)$ と異なる2点で交わるのは、正の山の高さより低いとき、すなわち $0 < a < \frac{1}{n e}$ である。 $a < 0$ では $0 < x < 1$ に1点、 $a = 0$ では $x = 1$ に1点だけなので、2点にはならない。

(3)

(2)の条件のもとで2交点の $x$ 座標を $p < q$ とする。 $a > 0$ で交わるので、 $p, q$ はともに1より大きい。交点条件より $a p^{n} = lo g p, a q^{n} = lo g q$ である。これらを引くと $a (q^{n} - p^{n}) = lo g q - lo g p$ となる。したがって示すべき不等式は $p < \frac{q - p}{l o g q - l o g p} < q$ である。 $p < x < q$ では $\frac{1}{q} < \frac{1}{x} < \frac{1}{p}$ である。これを $p$ から $q$ まで積分して $\frac{q - p}{q} < \int_{p}^{q} \frac{1}{x} d x < \frac{q - p}{p}$ すなわち $\frac{q - p}{q} < lo g q - lo g p < \frac{q - p}{p}$ を得る。すべて正の量なので逆数を取る向きに注意すると $p < \frac{q - p}{l o g q - l o g p} < q$ である。ゆえに $p < \frac{q - p}{a ( q ^{n} - p ^{n} )} < q$ が成り立つ。

解法2（積分表示と平均値の定理を使う）

(1)

$0 < x < 1$ なら $lo g x < 0 < x$ である。 $x ≧ 1$ なら

lo g x = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t} ≦ \int_{1}^{x} 1 d t = x - 1 < x

だから、すべての $x > 0$ で

lo g x < x

が成り立つ。

(2)

交点条件は

a = ϕ (x), ϕ (x) = \frac{lo g x}{x ^{n}}

と書ける。微分すると

ϕ^{'} (x) = \frac{1 - n lo g x}{x ^{n + 1}} .

したがって $ϕ$ は $x = e^{1/ n}$ まで増加し、その後減少する。最大値は

ϕ (e^{1/ n}) = \frac{1}{n e} .

また

x \to 0 + lim ϕ (x) = - \infty, ϕ (1) = 0, x \to \infty lim ϕ (x) = 0

である。よって水平線 $y = a$ がグラフと異なる2点で交わるのは

0 < a < \frac{1}{n e}

のときに限る。

(3)

交点条件から

a (q^{n} - p^{n}) = lo g q - lo g p

である。対数関数に区間 $[p, q]$ で平均値の定理を適用すると、ある $ξ \in (p, q)$ が存在して

\frac{lo g q - lo g p}{q - p} = \frac{1}{ξ}

となる。したがって

\frac{q - p}{a ( q ^{n} - p ^{n} )} = \frac{q - p}{lo g q - lo g p} = ξ .

$ξ \in (p, q)$ だから、ただちに

p < \frac{q - p}{a ( q ^{n} - p ^{n} )} < q

を得る。

@@ F I G U R E : t ik z : 1 :

（図は山の形を示す模式図である。）

九州大学 2020年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解法1（対数をx^nで割った関数を微分する）

解法2（積分表示と平均値の定理を使う）

解答

解法1（対数をx^nで割った関数を微分する）

(1)

(2)

(3)

解法2（積分表示と平均値の定理を使う）

(1)

(2)

(3)

九州大学 2020年度
後期・理系数学後期第1問