九州大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $h(x)=x-\log x(x>0)$ とおく。すると $$h^{\mathrm{\prime }}(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$$ である。よって $0<x<1$ で $h^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、$x>1$ で $h^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ となり、$h(x)$ は $x=1$ で最小となる。 $h(1)=1$ であるから、すべての $x>0$ について $x-\log x\geqq 1>0$ である。したがって $${\displaystyle \log x<x}$$ が成り立つ。

(2)
交点の $x$ 座標は $a{x}^n=\log x$ を満たす。$x>0$ であるから、これは $$a=\frac{\log x}{x^n}$$ と書ける。そこで $$\varphi (x)=\frac{\log x}{x^n}(x>0)$$ とおく。

微分すると $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1-n\log x}{x^{n+1}}$$ である。したがって $\varphi (x)$ は $x=e^{1\mathrm{/}n}$ で最大となり、その最大値は $$\varphi (e^{1\mathrm{/}n})=\frac{1\mathrm{/}n}{e}=\frac{1}{ne}$$ である。また、$0<x<1$ では $\log x<0$ なので $\varphi (x)<0$、$x=1$ で $\varphi (x)=0$、$x>1$ で $\varphi (x)>0$ である。さらに $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (x)=0$$ である。

よって、水平線 $y=a$ が $y=\varphi (x)$ と異なる2点で交わるのは、正の山の高さより低いとき、すなわち $${\displaystyle 0<a<\frac{1}{ne}}$$ である。$a<0$ では $0<x<1$ に1点、$a=0$ では $x=1$ に1点だけなので、2点にはならない。

(3)
(2)の条件のもとで2交点の $x$ 座標を $p<q$ とする。$a>0$ で交わるので、$p,q$ はともに1より大きい。交点条件より $$a{p}^n=\log p,a{q}^n=\log q$$ である。これらを引くと $$a(q^n-p^n)=\log q-\log p$$ となる。したがって示すべき不等式は $$p<\frac{q-p}{\log q-\log p}<q$$ である。 $p<x<q$ では $\frac{1}{q}<\frac{1}{x}<\frac{1}{p}$ である。これを $p$ から $q$ まで積分して $$\frac{q-p}{q}<{\int }_p^q\frac{1}{x}dx<\frac{q-p}{p}$$ すなわち $$\frac{q-p}{q}<\log q-\log p<\frac{q-p}{p}$$ を得る。すべて正の量なので逆数を取る向きに注意すると $$p<\frac{q-p}{\log q-\log p}<q$$ である。ゆえに $${\displaystyle p<\frac{q-p}{a(q^n-p^n)}<q}$$ が成り立つ。

(1) は対数の積分表示で示す。(2)は交点を水平線と $\varphi (x)=\log x\mathrm{/}{x}^n$ の交点として数える。(3)は対数関数に平均値の定理を適用し、求める中間量そのものが $p$ と $q$ の間の点になることを示す。

(1)
$0<x<1$ なら $\log x<0<x$ である。$x\geqq 1$ なら$$\log x={\int }_1^x\frac{dt}{t}\leqq {\int }_1^{x}1dt=x-1<x$$だから、すべての $x>0$ で$$\log x<x$$が成り立つ。

(2)
交点条件は$$a=\varphi (x),\varphi (x)=\frac{\log x}{x^n}$$と書ける。微分すると$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1-n\log x}{x^{n+1}}\mathrm{.}$$したがって $\varphi$ は $x=e^{1\mathrm{/}n}$ まで増加し、その後減少する。最大値は$$\varphi \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(e^{1\mathrm{/}n}\right)=\frac{1}{ne}\mathrm{.}$$また$$\underset{x\to 0+}{\lim }\varphi (x)=-\mathrm{\infty },\varphi (1)=0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (x)=0$$である。よって水平線 $y=a$ がグラフと異なる2点で交わるのは$$0<a<\frac{1}{ne}$$のときに限る。

(3)
交点条件から$$a(q^n-p^n)=\log q-\log p$$である。対数関数に区間 $[p,q]$ で平均値の定理を適用すると、ある $\xi \in (p,q)$ が存在して$$\frac{\log q-\log p}{q-p}=\frac{1}{\xi }$$となる。したがって$$\frac{q-p}{a(q^n-p^n)}=\frac{q-p}{\log q-\log p}=\xi \mathrm{.}$$$\xi \in (p,q)$ だから、ただちに$$p<\frac{q-p}{a(q^n-p^n)}<q$$を得る。

（図は山の形を示す模式図である。）