九州大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第4問

(1) $F=f(0)$、$G=g(0)$ とおく。条件(A)で $x=y=0$ とすると $F=F^2-G^2$ である。また条件(B)で $x=y=0$ とすると $G=2FG$ である。

もし $G\mathrm{\ne }0$ なら、$G=2FG$ より $F=\frac{1}{2}$ である。これを $F=F^2-G^2$ に代入すると $\frac{1}{2}=\frac{1}{4}-G^2$ となり、$G^2=-\frac{1}{4}$ を意味する。これは $G$ が実数であることに反する。したがって $G=0$ である。

すると $F=F^2$ であり、条件(C)より $F\mathrm{\ne }0$ だから $F=1$ である。よって $f(0)=1,g(0)=0$ である。

(2)
任意の実数 $x$ を固定し、$h$ を $0$ に近づける。条件(A)より $$f(x+h)=f(x)f(h)-g(x)g(h)$$ であるから、(1) の $f(0)=1$ を用いて $$f(x+h)-f(x)=f(x)\{f(h)-1\}-g(x)g(h)$$ となる。両辺を $h$ で割ると $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f(x)\frac{f(h)-f(0)}{h}-g(x)\frac{g(h)-g(0)}{h}$$ である。

条件(D)より $f$ と $g$ は $0$ で微分可能で、$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$、$g^{\mathrm{\prime }}(0)=1$ である。したがって $h\to 0$ とすると右辺は $$f(x)\cdot 0-g(x)\cdot 1=-g(x)$$ に収束する。よって $f(x)$ は任意の $x$ で微分可能であり、$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-g(x)$ が成り立つ。

(3)
同じように条件(B)から $$g(x+h)-g(x)=f(x)g(h)+g(x)\{f(h)-1\}$$ である。両辺を $h$ で割って $h\to 0$ とすれば $g^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ を得る。

ここで $$U(x)=f(x)\cos x+g(x)\sin x,V(x)=g(x)\cos x-f(x)\sin x$$ とおく。$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-g(x)$、$g^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ を用いると $$U^{\mathrm{\prime }}(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)\cos x-f(x)\sin x+g^{\mathrm{\prime }}(x)\sin x+g(x)\cos x=0$$ であり、$$V^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(x)\cos x-g(x)\sin x-f^{\mathrm{\prime }}(x)\sin x-f(x)\cos x=0$$ である。したがって $U(x),V(x)$ はともに定数である。 $x=0$ を代入すると、(1) より $U(0)=1,V(0)=0$ である。よってすべての $x$ で $U(x)=1,V(x)=0$ である。ところが $$\{f(x)+ig(x)\}(\cos x-i\sin x)=U(x)+iV(x)$$ であるから $$\{f(x)+ig(x)\}(\cos x-i\sin x)=1$$ が成り立つ。

(4) $$p(x)=e^{-\frac{a}{b}x}f\left(\frac{x}{b}\right),q(x)=e^{-\frac{a}{b}x}g\left(\frac{x}{b}\right)$$とおく。まず条件(B)を確認する。任意の $x,y$ について、もとの条件(B)より$$g\left(\frac{x+y}{b}\right)=f\left(\frac{x}{b}\right)g\left(\frac{y}{b}\right)+g\left(\frac{x}{b}\right)f\left(\frac{y}{b}\right)$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle q(x+y)}& {\displaystyle =e^{-\frac{a}{b}(x+y)}g\left(\frac{x+y}{b}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^{-\frac{a}{b}x}f\left(\frac{x}{b}\right)e^{-\frac{a}{b}y}g\left(\frac{y}{b}\right)+e^{-\frac{a}{b}x}g\left(\frac{x}{b}\right)e^{-\frac{a}{b}y}f\left(\frac{y}{b}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p(x)q(y)+q(x)p(y)}\end{array}$$となる。

次に条件(D)を確認する。一般の場合でも $f(0)=1$、$g(0)=0$ であり、条件(D)'より $f^{\mathrm{\prime }}(0)=a$、$g^{\mathrm{\prime }}(0)=b$ である。したがって $$p^{\mathrm{\prime }}(0)=-\frac{a}{b}f(0)+\frac{1}{b}{f}^{\mathrm{\prime }}(0)=-\frac{a}{b}+\frac{a}{b}=0$$ であり、$$q^{\mathrm{\prime }}(0)=-\frac{a}{b}g(0)+\frac{1}{b}{g}^{\mathrm{\prime }}(0)=0+1=1$$ である。よって $p,q$ は条件(D)を満たす。

なお、条件(A)についても同じ計算で $$p(x+y)=p(x)p(y)-q(x)q(y)$$ が成り立ち、$p(0)=1\mathrm{\ne }0$ であるから条件(C)も満たす。したがって前半の結果を $p,q$ に適用でき、$$p(x)=\cos x,q(x)=\sin x$$ である。 $x=bt$ とおくと $$p(bt)=e^{-at}f(t)=\cos bt,q(bt)=e^{-at}g(t)=\sin bt$$ である。したがって $$f(t)=e^{at}\cos bt,g(t)=e^{at}\sin bt$$ を得る。変数名を $x$ に戻せば、空欄は $\text{[ア] }{e}^{ax}\cos bx,\text{[イ] }{e}^{ax}\sin bx$ である。

$H(x)=f(x)+ig(x)$ とおくと，条件(A)，(B)は $H(x+y)=H(x)H(y)$ の1本にまとまる。原点の微分係数から任意点で $H^{\mathrm{\prime }}(x)=iH(x)$ を導き，$H(x)(\cos x-i\sin x)$ の導関数が0であることを示す。一般の $a,b$ でも $P(x)=p(x)+iq(x)$ を同様に扱う。

$H(x)=f(x)+ig(x)$ とおく。条件(A)，(B)はまとめて$$\begin{array}{cccc}& H(x+y)=H(x)H(y)& & \text{(1)}\end{array}$$と表せる。

(1)
(1) に $x=y=0$ を代入すると $H(0)=H(0{)}^2$ である。
条件(C)より $H(0)\mathrm{\ne }0$ だから $H(0)=1$ であり，$$f(0)=1,g(0)=0$$を得る。

(2)
$H^{\mathrm{\prime }}(0)=f^{\mathrm{\prime }}(0)+i{g}^{\mathrm{\prime }}(0)=i$ である。(1) より$$\frac{H(x+h)-H(x)}{h}=H(x)\frac{H(h)-H(0)}{h}\mathrm{.}$$$h\to 0$ とすれば$$H^{\mathrm{\prime }}(x)=iH(x)\mathrm{.}$$実部を比較して $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-g(x)$，虚部を比較して
$g^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$ を得る。

(3) $$K(x)=H(x)(\cos x-i\sin x)$$とおく。$$(\cos x-i\sin x{)}^{\mathrm{\prime }}=-i(\cos x-i\sin x)$$ だから$$K^{\mathrm{\prime }}(x)=iH(x)(\cos x-i\sin x)-iH(x)(\cos x-i\sin x)=0.$$よって $K$ は定数で，$K(0)=1$ より$$\{f(x)+ig(x)\}(\cos x-i\sin x)=1$$である。

(4)
一般の条件(D)'では $H^{\mathrm{\prime }}(0)=a+ib$ である。問題文の $p,q$ に対し$$P(x)=p(x)+iq(x)=e^{-\frac{a}{b}x}H\left(\frac{x}{b}\right)$$とおく。(1) から$$P(x+y)=P(x)P(y)$$であり，その虚部を比較すれば条件(B)を得る。また$$P(0)=1,P^{\mathrm{\prime }}(0)=-\frac{a}{b}H(0)+\frac{1}{b}{H}^{\mathrm{\prime }}(0)=i$$だから $p^{\mathrm{\prime }}(0)=0,q^{\mathrm{\prime }}(0)=1$ であり，条件(D)も成り立つ。
同様に実部から条件(A)，$P(0)=1$ から条件(C)も成り立つ。

前半の結果により$$P(x)=\cos x+i\sin x\mathrm{.}$$$x=bt$ とおくと$$e^{-at}\{f(t)+ig(t)\}=\cos bt+i\sin bt$$だから$$f(x)=e^{ax}\cos bx,g(x)=e^{ax}\sin bx$$である。