問題
以下の文章を読んで後の問いに答えよ。
三角関数，については加法定理が成立するが，逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数，が以下の条件を満たすとする。
(A) すべての，について
(B) すべての，について
(C)
(D) ，はで微分可能で，
(1)条件(A)，(B)，(C)から，がわかる。
以上のことから(2)，はすべてのの値で微分可能で，
，が成立することが示される。
(3)上のことからであることが，
実部と虚部を調べることによりわかる。ただしは虚数単位である。
よって条件(A)，(B)，(C)，(D)を満たす関数は三角関数，であることが示される。
さらに，，を実数でとする。このとき条件(D)をより一般的な
(D)' ，はで微分可能で，
におきかえて，条件(A)，(B)，(C)，(D)'を満たす，はどのような関数になるか考えてみる。この場合でも，条件(A)，(B)，(C)から，が上と同様にわかる。ここで
とおくと，(4)条件(A)，(B)，(C)，(D)において，
をに，をにおきかえた条件が満たされる。
すると前半の議論により，，がまず求まり，このことを用いると[ ア ]，[ イ ]が得られる。
(1) 下線部(1)について，，となることを示せ。
(2) 下線部(2)について，がすべてのの値で微分可能な関数であり，となることを示せ。
(3) 下線部(3)について，下線部(1)，下線部(2)の事実を用いることにより，となることを示せ。
(4) 下線部(4)について，条件(B)，(D)において，をに，をにおきかえた条件が満たされることを示せ。つまりとが，
(B) すべての，について
(D) ，はで微分可能で，
を満たすことを示せ。また空欄[ ア ]，[ イ ]に入る関数を求めよ。
方針
解法1（標準解法）
加法定理型の条件に、まず を代入して初期値を決める。次に を条件(A)で展開し、 の差分商から任意の での微分可能性と を示す。(3) では同様に得られる も使い、 と の2つの実関数が定数であることを示す。一般の では指数因子と変数変換で を標準形に直し、最後に と戻す。
解法2（複素関数にまとめる方法）
とおくと，条件(A)，(B)は の1本にまとまる。原点の微分係数から任意点で を導き， の導関数が0であることを示す。一般の でも を同様に扱う。
解答
解法1（標準解法）
(1)
、 とおく。条件(A)で とすると である。また条件(B)で とすると である。
もし なら、 より である。これを に代入すると となり、 を意味する。これは が実数であることに反する。したがって である。
すると であり、条件(C)より だから である。よって である。
(2)
任意の実数 を固定し、 を に近づける。条件(A)より であるから、(1) の を用いて となる。両辺を で割ると である。
条件(D)より と は で微分可能で、、 である。したがって とすると右辺は に収束する。よって は任意の で微分可能であり、 が成り立つ。
(3)
同じように条件(B)から である。両辺を で割って とすれば を得る。
ここで とおく。、 を用いると であり、 である。したがって はともに定数である。 を代入すると、(1) より である。よってすべての で である。ところが であるから が成り立つ。
(4)
とおく。まず条件(B)を確認する。任意の について、もとの条件(B)より
である。よって
となる。
次に条件(D)を確認する。一般の場合でも 、 であり、条件(D)'より 、 である。したがって であり、 である。よって は条件(D)を満たす。
なお、条件(A)についても同じ計算で が成り立ち、 であるから条件(C)も満たす。したがって前半の結果を に適用でき、 である。 とおくと である。したがって を得る。変数名を に戻せば、空欄は である。
解法2（複素関数にまとめる方法）
とおく。条件(A)，(B)はまとめて
と表せる。
(1)
(1) に を代入すると である。条件(C)より だから であり，
を得る。
(2)
である。(1) より
とすれば
実部を比較して ，虚部を比較して を得る。
(3)
とおく。 だから
よって は定数で， より
である。
(4)
一般の条件(D)'では である。問題文の に対し
とおく。(1) から
であり，その虚部を比較すれば条件(B)を得る。また
だから であり，条件(D)も成り立つ。同様に実部から条件(A)， から条件(C)も成り立つ。
前半の結果により
とおくと
だから
である。