九州大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)
条件より、すべての自然数 $n$ について $f({\omega }^n)=0$ である。つまり $\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3,\dots$ はすべて $f(x)$ の根である。

ところが $f(x)$ は3次の多項式であり、恒等的に0ではないので、異なる根は高々3個である。したがって $\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3,{\omega }^4$ の中には等しいものがある。すなわち、ある $1\leqq i<j\leqq 4$ について ${\omega }^i={\omega }^j$ である。$\omega \mathrm{\ne }0$ だから ${\omega }^{j-i}=1$ となる。よって $\omega$ は1の累乗根であり、その位数は1,2,3のいずれかである。

しかし $\omega \mathrm{\ne }1$ なので位数は1ではない。また位数が2なら ${\omega }^2=1$ より $\omega =\pm 1$ となるが、$\omega \mathrm{\ne }1,-1$ に反する。したがって位数は3である。よって $${\omega }^3=1,\omega \mathrm{\ne }1$$ である。 $${\omega }^3-1=(\omega -1)({\omega }^2+\omega +1)=0$$ であり、$\omega \mathrm{\ne }1$ だから ${\omega }^2+\omega +1=0$ である。これを解いて $${\displaystyle \omega =\frac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i}$$ を得る。すなわち$$\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\text{または}\omega =-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$である。

(2)
(1)より $\omega$ の位数は3であるから $${\omega }^3=1,{\omega }^2\mathrm{\ne }\omega ,\omega \mathrm{\ne }1$$ である。条件はすべての自然数 $n$ について $f({\omega }^n)=0$ であるから、特に $$f(\omega )=0,f({\omega }^2)=0,f({\omega }^3)=f(1)=0$$ である。

したがって $f(x)$ は3つの相異なる根 $1,\omega ,{\omega }^2$ をもつ。さらに $f(x)$ は3次で、$x^3$ の係数は1であるから $$f(x)=(x-1)(x-\omega )(x-{\omega }^2)$$ である。ここで $1,\omega ,{\omega }^2$ は $x^3-1=0$ の3つの根なので $$(x-1)(x-\omega )(x-{\omega }^2)=x^3-1$$ である。よって $f(x)=x^3-1$ である。

(3)
(2)より $f(x)=x^3-1$ である。したがって $f(x)$ で割った余りを考えるときは $x^3\equiv 1$ としてよい。よって指数は3を法として考えればよい。 $$g(x)=\sum _{n=0}^{2021}{x}^n$$ には、$n=0$ から $2021$ までの $2022$ 個の項がある。また $2022=3\cdot 674$ である。各3項 $x^{3m}+x^{3m+1}+x^{3m+2}$ は、$x^3\equiv 1$ のもとで $1+x+x^2$ に合同である。したがって余りは $674(1+x+x^2)$ すなわち $674x^2+674x+674$ である。

条件から $\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3$ がモニック3次式の根であり，次の ${\omega }^4$ もそのいずれかになることを使って ${\omega }^3=1$ を確定する。すると $f(x)=x^3-1$。和 $g(x)$ は指数を3で分類して余りを直接読む。

(1)
条件より$$f(\omega )=f({\omega }^2)=f({\omega }^3)=0.$$$\omega \mathrm{\ne }0,\pm 1$ なので $\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3$ は相異なる。モニック3次式 $f$ はこの3数をすべて根にもつ。

さらに $f({\omega }^4)=0$ だから，${\omega }^4$ は $\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3$ のいずれかに等しい。順に割り算すると$${\omega }^3=1,{\omega }^2=1,\omega =1$$のいずれかとなる。後二つは条件に反するので$${\omega }^3=1.$$また $\omega \mathrm{\ne }1$ だから$${\omega }^2+\omega +1=0,$$したがって$$\omega =\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}\mathrm{.}$$(2)
根は $\omega ,{\omega }^2,1$ であり，$f$ はモニック3次式だから$$f(x)=(x-\omega )(x-{\omega }^2)(x-1)=x^3-1.$$(3)
$2021=3\cdot 673+2$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(x)}& {\displaystyle =\sum _{n=0}^{2021}{x}^n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=0}^{673}(x^{3k}+x^{3k+1}+x^{3k+2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1+x+x^2)\sum _{k=0}^{673}{x}^{3k}\mathrm{.}}\end{array}$$$x^3\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^3-1)$ だから各 $x^{3k}$ は余り1となる。項数は674個なので，求める余りは$$674x^2+674x+674.$$