九州大学 2021年度
後期・理系数学 後期 第5問

解答

解法1（根の個数から3乗根を特定する）

(1)

条件より、すべての自然数 $n$ について $f({\omega }^n)=0$ である。つまり $\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3,\dots$ はすべて $f(x)$ の根である。

ところが $f(x)$ は3次の多項式であり、恒等的に0ではないので、異なる根は高々3個である。したがって $\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3,{\omega }^4$ の中には等しいものがある。すなわち、ある $1\leqq i<j\leqq 4$ について ${\omega }^i={\omega }^j$ である。$\omega \ne 0$ だから ${\omega }^{j-i}=1$ となる。よって $\omega$ は1の累乗根であり、その位数は1,2,3のいずれかである。

しかし $\omega \ne 1$ なので位数は1ではない。また位数が2なら ${\omega }^2=1$ より $\omega =\pm 1$ となるが、$\omega \ne 1,-1$ に反する。したがって位数は3である。よって ${\omega }^3=1,\omega \ne 1$ である。 ${\omega }^3-1=(\omega -1)({\omega }^2+\omega +1)=0$ であり、$\omega \ne 1$ だから ${\omega }^2+\omega +1=0$ である。これを解いて $\omega =\frac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ を得る。すなわち

である。

(2)

(1)より $\omega$ の位数は3であるから ${\omega }^3=1,{\omega }^2\ne \omega ,\omega \ne 1$ である。条件はすべての自然数 $n$ について $f({\omega }^n)=0$ であるから、特に $f(\omega )=0,f({\omega }^2)=0,f({\omega }^3)=f(1)=0$ である。

したがって $f(x)$ は3つの相異なる根 $1,\omega ,{\omega }^2$ をもつ。さらに $f(x)$ は3次で、$x^3$ の係数は1であるから $f(x)=(x-1)(x-\omega )(x-{\omega }^2)$ である。ここで $1,\omega ,{\omega }^2$ は $x^3-1=0$ の3つの根なので $(x-1)(x-\omega )(x-{\omega }^2)=x^3-1$ である。よって $f(x)=x^3-1$ である。

(3)

(2)より $f(x)=x^3-1$ である。したがって $f(x)$ で割った余りを考えるときは $x^3\equiv 1$ としてよい。よって指数は3を法として考えればよい。 $g(x)={\sum }_{n=0}^{2021}{x}^n$ には、$n=0$ から $2021$ までの $2022$ 個の項がある。また $2022=3\cdot 674$ である。各3項 $x^{3m}+x^{3m+1}+x^{3m+2}$ は、$x^3\equiv 1$ のもとで $1+x+x^2$ に合同である。したがって余りは $674(1+x+x^2)$ すなわち $674x^2+674x+674$ である。

解法2（3を法とする指数の分類で余りを求める）

(1)

条件より

$\omega \ne 0,\pm 1$ なので $\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3$ は相異なる。モニック3次式 $f$ はこの3数をすべて根にもつ。

さらに $f({\omega }^4)=0$ だから，${\omega }^4$ は $\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3$ のいずれかに等しい。順に割り算すると

のいずれかとなる。後二つは条件に反するので

また $\omega \ne 1$ だから

したがって

(2)

根は $\omega ,{\omega }^2,1$ であり，$f$ はモニック3次式だから

(3)

$2021=3\cdot 673+2$ なので

$x^3\equiv 1(\mathrm{mod}{x}^3-1)$ だから各 $x^{3k}$ は余り1となる。項数は674個なので，求める余りは