九州大学 2021年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

実数 $a$ は $a > 1$ とする。曲線 $y = e^{x}$ と直線 $y = a - 1$ ，直線 $y = a$ および $y$ 軸で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに一回転させて得られる立体の体積を $V (a)$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $V (a)$ を求めよ。

(2) $V (a)$ を最小とする $a$ の値を求めよ。

(3) 次の極限を求めよ。

a \to \infty lim (V (a) - V (a - 1))

必要ならば， $x \to \infty lim \frac{lo g x}{x} = 0$ を証明なしで用いてよい。

出典：九州大学 2021年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

解法1（円板法と導関数の符号を用いる）

回転軸が $y$ 軸なので、曲線 $y = e^{x}$ を $x = lo g y$ と見て、水平切片の半径を $lo g y$ とする。(1)は $y = a - 1$ から $y = a$ までの円板の体積として積分する。(2)は積分区間の上端・下端がともに $a$ に依存するため、微分すると端点の値の差になる。符号は $lo g (a / (a - 1))$ と $lo g (a (a - 1))$ で判定する。(3)は隣り合う長さ1の区間での積分差を、導関数 $2 lo g y / y$ の最大値で押さえて0に近づける。

解法2（対数の二乗積分と積分区間の移動を用いる）

高さ $y$ での回転半径は $∣ lo g y ∣$ なので，体積を長さ1の移動区間上の積分

π \int_{a - 1}^{a} (lo g y)^{2} d y

と表す。微分は端点値の差となり，最小値を決める。差分の極限は平均値の定理で導関数へ帰着する。

解答

解法1（円板法と導関数の符号を用いる）

(1)

曲線 $y = e^{x}$ は、 $y > 0$ に対して $x = lo g y$ と書ける。 $a > 1$ なので、 $a - 1 < y < a$ の範囲では $y > 0$ である。

求める図形を $y$ 軸のまわりに回転させると、高さ $y$ における断面は半径 $lo g y$ の円である。したがって体積は

V (a) = π \int_{a - 1}^{a} (lo g y)^{2} d y

である。

原始関数を求める。部分積分を2回用いると

\int (lo g y)^{2} d y = y (lo g y)^{2} - 2 \int lo g y d y

であり、さらに

\int lo g y d y = y lo g y - y

だから

\int (lo g y)^{2} d y = y {(lo g y)^{2} - 2 lo g y + 2}

である。よって $F (y) = y {(lo g y)^{2} - 2 lo g y + 2}$ とおけば $V (a) = π {F (a) - F (a - 1)}$ である。

(2)

(1)の積分表示から

V (a) = π \int_{a - 1}^{a} (lo g y)^{2} d y

である。上端と下端に注意して微分すると $V^{'} (a) = π {(lo g a)^{2} - (lo g (a - 1))^{2}}$ である。これを因数分解すると $V^{'} (a) = π {lo g a - lo g (a - 1)} {lo g a + lo g (a - 1)}$ $= π lo g \frac{a}{a - 1} \cdot lo g {a (a - 1)}$ である。 $a > 1$ では $lo g \frac{a}{a - 1} > 0$ である。したがって $V^{'} (a)$ の符号は $lo g {a (a - 1)}$ の符号で決まる。関数 $a (a - 1)$ は $a > 1$ で増加し、 $a (a - 1) = 1$ となるのは $a = \frac{1 + 5}{2}$ のときである。

よって $1 < a < \frac{1 + 5}{2}$ では $V^{'} (a) < 0$ 、 $a > \frac{1 + 5}{2}$ では $V^{'} (a) > 0$ となる。したがって $V (a)$ を最小にする $a$ は $a = \frac{1 + 5}{2}$ である。

(3)

V (a) - V (a - 1) = π {\int_{a - 1}^{a} (lo g y)^{2} d y - \int_{a - 2}^{a - 1} (lo g y)^{2} d y}

である。第2項で $y = u - 1$ と見ると、これは

V (a) - V (a - 1) = π \int_{a - 1}^{a} {(lo g y)^{2} - (lo g (y - 1))^{2}} d y

と書ける。 $a$ が十分大きいとき、 $y - 1 > 1$ である。関数 $f (y) = (lo g y)^{2}$ について $f^{'} (y) = \frac{2 lo g y}{y}$ である。 $y \in [a - 2, a]$ では、 $a \to \infty$ のとき $0 ≦ \frac{2 lo g y}{y} ≦ \frac{2 lo g ( a )}{a - 2}$ となり、右辺は0に近づく。平均変化の考え方から

0 ≦ (lo g y)^{2} - (lo g (y - 1))^{2} ≦ a - 2 ≦ u ≦ a max \frac{2 lo g u}{u}

であるから、積分全体も0に近づく。

したがって $lim_{a \to \infty} (V (a) - V (a - 1)) = 0$ である。

解法2（対数の二乗積分と積分区間の移動を用いる）

(1)

高さ $y$ では領域は $x = 0$ と $x = lo g y$ の間にあり， $y$ 軸回転後の円板の半径は $∣ lo g y ∣$ である。したがって

V (a) = π \int_{a - 1}^{a} (lo g y)^{2} d y .

原始関数

\int (lo g y)^{2} d y = y {(lo g y)^{2} - 2 lo g y + 2}

を用いて

V (a) = π [a {(lo g a)^{2} - 2 lo g a + 2} - (a - 1) {(lo g (a - 1))^{2} - 2 lo g (a - 1) + 2}] .

(2)

端点を微分すると

\frac{V ^{'} ( a )}{π} = (lo g a)^{2} - {lo g (a - 1)}^{2} = lo g \frac{a}{a - 1} lo g {a (a - 1)} .

$a > 1$ では第1因子が正なので，符号は $a (a - 1) - 1$ で決まる。よって

a^{2} - a - 1 = 0

の正の解で最小となり

a = \frac{1 + 5}{2}

である。

(3)

$a > 2$ とする。平均値の定理により，ある $c \in (a - 1, a)$ が存在して

V (a) - V (a - 1) = V^{'} (c) .

$c \to \infty$ のとき

\frac{V ^{'} ( c )}{π} = lo g {c (c - 1)} lo g \frac{c}{c - 1} = \frac{lo g { c ( c - 1 )}}{c - 1} (c - 1) lo g (1 + \frac{1}{c - 1}) ⟶ 0.

したがって

a \to \infty lim {V (a) - V (a - 1)} = 0.

九州大学 2021年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解法1（円板法と導関数の符号を用いる）

解法2（対数の二乗積分と積分区間の移動を用いる）

解答

解法1（円板法と導関数の符号を用いる）

(1)

(2)

(3)

解法2（対数の二乗積分と積分区間の移動を用いる）

(1)

(2)

(3)

九州大学 2021年度
後期・理系数学後期第3問