九州大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
曲線 $y=e^x$ は、$y>0$ に対して $x=\log y$ と書ける。$a>1$ なので、$a-1<y<a$ の範囲では $y>0$ である。

求める図形を $y$ 軸のまわりに回転させると、高さ $y$ における断面は半径 $\log y$ の円である。したがって体積は$$V(a)=\pi {\int }_{a-1}^a(\log y{)}^{2}dy$$である。

原始関数を求める。部分積分を2回用いると$$\int (\log y{)}^{2}dy=y(\log y{)}^2-2\int \log ydy$$であり、さらに$$\int \log ydy=y\log y-y$$だから$$\int (\log y{)}^{2}dy=y\{(\log y{)}^2-2\log y+2\}$$である。よって $$F(y)=y\{(\log y{)}^2-2\log y+2\}$$ とおけば $$V(a)=\pi \{F(a)-F(a-1)\}$$ である。

(2)
(1)の積分表示から$$V(a)=\pi {\int }_{a-1}^a(\log y{)}^{2}dy$$である。上端と下端に注意して微分すると $$V^{\mathrm{\prime }}(a)=\pi \{(\log a{)}^2-(\log (a-1){)}^2\}$$ である。これを因数分解すると $$V^{\mathrm{\prime }}(a)=\pi \{\log a-\log (a-1)\}\{\log a+\log (a-1)\}$$ $${\displaystyle =\pi \log \frac{a}{a-1}\cdot \log \{a(a-1)\}}$$ である。 $a>1$ では $${\displaystyle \log \frac{a}{a-1}>0}$$ である。したがって $V^{\mathrm{\prime }}(a)$ の符号は $\log \{a(a-1)\}$ の符号で決まる。関数 $a(a-1)$ は $a>1$ で増加し、$a(a-1)=1$ となるのは $${\displaystyle a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$ のときである。

よって $${\displaystyle 1<a<\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$ では $V^{\mathrm{\prime }}(a)<0$、$${\displaystyle a>\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$ では $V^{\mathrm{\prime }}(a)>0$ となる。したがって $V(a)$ を最小にする $a$ は $${\displaystyle a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$ である。

(3) $$V(a)-V(a-1)=\pi \{{\int }_{a-1}^a(\log y{)}^{2}dy-{\int }_{a-2}^{a-1}(\log y{)}^{2}dy\}$$である。第2項で $y=u-1$ と見ると、これは$$V(a)-V(a-1)=\pi {\int }_{a-1}^a\{(\log y{)}^2-(\log (y-1){)}^2\}dy$$と書ける。 $a$ が十分大きいとき、$y-1>1$ である。関数 $f(y)=(\log y{)}^2$ について $${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(y)=\frac{2\log y}{y}}$$ である。$y\in [a-2,a]$ では、$a\to \mathrm{\infty }$ のとき $${\displaystyle 0\leqq \frac{2\log y}{y}\leqq \frac{2\log (a)}{a-2}}$$ となり、右辺は0に近づく。平均変化の考え方から$$0\leqq (\log y{)}^2-(\log (y-1){)}^2\leqq \underset{a-2\leqq u\leqq a}{\max }\frac{2\log u}{u}$$であるから、積分全体も0に近づく。

したがって $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }(V(a)-V(a-1))=0$$ である。

高さ $y$ での回転半径は $\mathrm{\mid }\log y\mathrm{\mid }$ なので，体積を長さ1の移動区間上の積分$$\pi {\int }_{a-1}^a(\log y{)}^{2}dy$$と表す。微分は端点値の差となり，最小値を決める。差分の極限は平均値の定理で導関数へ帰着する。

(1)
高さ $y$ では領域は $x=0$ と $x=\log y$ の間にあり，$y$ 軸回転後の円板の半径は $\mathrm{\mid }\log y\mathrm{\mid }$ である。したがって$$V(a)=\pi {\int }_{a-1}^a(\log y{)}^{2}dy\mathrm{.}$$原始関数$$\int (\log y{)}^{2}dy=y\{(\log y{)}^2-2\log y+2\}$$を用いて$$V(a)=\pi [a\{(\log a{)}^2-2\log a+2\}-(a-1)\{(\log (a-1){)}^2-2\log (a-1)+2\}]\mathrm{.}$$(2)
端点を微分すると$$\frac{V^{\mathrm{\prime }}(a)}{\pi }=(\log a{)}^2-\{\log (a-1){\}}^2=\log \frac{a}{a-1}\log \{a(a-1)\}\mathrm{.}$$$a>1$ では第1因子が正なので，符号は $a(a-1)-1$ で決まる。よって$$a^2-a-1=0$$の正の解で最小となり$$a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$である。

(3)
$a>2$ とする。平均値の定理により，ある $c\in (a-1,a)$ が存在して$$V(a)-V(a-1)=V^{\mathrm{\prime }}(c)\mathrm{.}$$$c\to \mathrm{\infty }$ のとき$$\frac{V^{\mathrm{\prime }}(c)}{\pi }=\log \{c(c-1)\}\log \frac{c}{c-1}=\frac{\log \{c(c-1)\}}{c-1}(c-1)\log (1+\frac{1}{c-1})⟶0.$$したがって$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{V(a)-V(a-1)\}=0.$$