九州大学 2021年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$M$ を2以上の自然数， $p$ を実数として，次の条件によって定められる $3 M$ 個の項からなる数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{3 M}$ を考える。

a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n} = \frac{3 n + p}{27 M ^{3}}, a_{1} = 0, a_{2} = 0

(1) $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ $(n = 1, 2, \dots, 3 M - 1)$ とするとき，数列 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{3 M - 1}$ の一般項 $b_{n}$ を求めよ。

(2) 数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{3 M}$ の一般項 $a_{n}$ を求めよ。さらに， $a_{3 M} = 0$ を満たす $p$ を $p_{M}$ とするとき， $p_{M}$ を $M$ の式で表せ。

(3) (2)で求めた $p_{M}$ について， $p = p_{M}$ の場合における数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{3 M}$ の中で最小の項を $c_{M}$ とする。 $a_{n} = c_{M}$ となるすべての $n$ を $M$ の式で表せ。さらに， $M \to \infty lim c_{M}$ を求めよ。

出典：九州大学 2021年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

解法1（階差数列を2回加える）

2階差をそのまま扱わず、まず $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ と置いて1階差の和に直す。(1)で $b_{n}$ を求め、(2)ではさらに $b_{j}$ を $j = 1$ から $n - 1$ まで足して $a_{n}$ を得る。 $a_{3 M} = 0$ は積の因子 $3 M + p$ だけが0になる条件である。(3)では $p = - 3 M$ のもとで負になる部分を確認し、最小値は $h (n) = (n - 2) (n - 1) (3 M - n)$ の最大値に対応するので、差 $h (n + 1) - h (n)$ の符号で整数の最大位置を決める。

解法2（3次式を直接検算して一意性を用いる）

右辺が $n$ の1次式なので，2階差をとる数列 $a_{n}$ は $n$ の3次式になる。初期条件を含む候補を直接代入して一般項を確定し， $a_{3 M} = 0$ から $p$ を決める。最小項は1階差の符号だけで判定する。

解答

解法1（階差数列を2回加える）

(1)

$b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ とおく。与えられた漸化式は $(a_{n + 2} - a_{n + 1}) - (a_{n + 1} - a_{n}) = \frac{3 n + p}{27 M ^{3}}$ であるから $b_{n + 1} - b_{n} = \frac{3 n + p}{27 M ^{3}}$ である。また $b_{1} = a_{2} - a_{1} = 0$ である。したがって $n ≧ 1$ について $b_{n} = b_{1} + j = 1 \sum n - 1 \frac{3 j + p}{27 M ^{3}}$ であり、 $b_{n} = \frac{1}{27 M ^{3}} {3 \cdot \frac{( n - 1 ) n}{2} + p (n - 1)}$ となる。よって $b_{n} = \frac{( n - 1 ) ( 3 n + 2 p )}{54 M ^{3}}$ である。

(2)

$a_{1} = 0$ であり、 $b_{j} = a_{j + 1} - a_{j}$ だから $a_{n} = \sum_{j = 1}^{n - 1} b_{j}$ である。(1)の結果を用いると $a_{n} = \frac{1}{54 M ^{3}} j = 1 \sum n - 1 (j - 1) (3 j + 2 p)$ である。ここで $m = j - 1$ とおくと $(j - 1) (3 j + 2 p) = m (3 m + 3 + 2 p)$ であるから

j = 1 \sum n - 1 (j - 1) (3 j + 2 p) = 3 m = 0 \sum n - 2 m^{2} + (3 + 2 p) m = 0 \sum n - 2 m

$= \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) ( 2 n - 3 )}{2} + \frac{( 3 + 2 p ) ( n - 2 ) ( n - 1 )}{2}$ $= (n - 2) (n - 1) (n + p)$ である。したがって $a_{n} = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) ( n + p )}{54 M ^{3}}$ である。

特に $a_{3 M} = \frac{( 3 M - 2 ) ( 3 M - 1 ) ( 3 M + p )}{54 M ^{3}}$ である。 $M ≧ 2$ なので $3 M - 2$ と $3 M - 1$ は0でない。よって $a_{3 M} = 0$ となる条件は $3 M + p = 0$ であり、 $p_{M} = - 3 M$ である。

(3)

$p = p_{M} = - 3 M$ のとき $a_{n} = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) ( n - 3 M )}{54 M ^{3}}$ である。 $n = 1, 2, 3 M$ では $a_{n} = 0$ であり、 $3 ≦ n ≦ 3 M - 1$ では $n - 2 > 0, n - 1 > 0, n - 3 M < 0$ なので $a_{n} < 0$ である。

したがって最小の項を求めるには $h (n) = (n - 2) (n - 1) (3 M - n)$ の最大値を、整数 $n$ の範囲で求めればよい。差を計算すると $h (n + 1) - h (n) = (n - 1) n (3 M - n - 1) - (n - 2) (n - 1) (3 M - n)$ $= (n - 1) {2 (3 M - n) - n} = - 3 (n - 1) (n - 2 M)$ である。

よって $n < 2 M$ では $h (n + 1) - h (n) > 0$ 、 $n > 2 M$ では $h (n + 1) - h (n) < 0$ である。また $n = 2 M$ では差が0なので $h (2 M) = h (2 M + 1)$ である。したがって $h (n)$ は $n = 2 M, n = 2 M + 1$ で最大となる。ゆえに $a_{n} = c_{M}$ となるのは $n = 2 M, n = 2 M + 1$ である。

最小値は $c_{M} = a_{2 M} = \frac{( 2 M - 2 ) ( 2 M - 1 ) ( - M )}{54 M ^{3}} = - \frac{( M - 1 ) ( 2 M - 1 )}{27 M ^{2}}$ である。したがって

M \to \infty lim c_{M} = - M \to \infty lim \frac{( M - 1 ) ( 2 M - 1 )}{27 M ^{2}} = - \frac{2}{27}

である。

解法2（3次式を直接検算して一意性を用いる）

(1)

候補

b_{n} = \frac{( n - 1 ) ( 3 n + 2 p )}{54 M ^{3}}

について直接計算すると

b_{n + 1} - b_{n} = \frac{3 n + p}{27 M ^{3}}, b_{1} = 0

を満たす。よって $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ の一意性から

b_{n} = \frac{( n - 1 ) ( 3 n + 2 p )}{54 M ^{3}} .

(2)

さらに

A_{n} = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) ( n + p )}{54 M ^{3}}

とおくと

A_{1} = A_{2} = 0, A_{n + 1} - A_{n} = b_{n} .

したがって元の漸化式と初期条件を満たす数列は一意だから

a_{n} = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) ( n + p )}{54 M ^{3}} .

条件 $a_{3 M} = 0$ では $M \geq 2$ より $3 M - 2, 3 M - 1 \neq = 0$ なので

3 M + p = 0, p_{M} = - 3 M .

(3)

$p = - 3 M$ のとき

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{( n - 1 ) ( n - 2 M )}{18 M ^{3}} .

したがって数列は $n < 2 M$ で減少し， $n = 2 M$ で差が0となり，その後は増加する。最小値は

n = 2 M, 2 M + 1

でとる。その値は

c_{M} = a_{2 M} = - \frac{( M - 1 ) ( 2 M - 1 )}{27 M ^{2}} .

よって

M \to \infty lim c_{M} = - \frac{2}{27} .

九州大学 2021年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解法1（階差数列を2回加える）

解法2（3次式を直接検算して一意性を用いる）

解答

解法1（階差数列を2回加える）

(1)

(2)

(3)

解法2（3次式を直接検算して一意性を用いる）

(1)

(2)

(3)

九州大学 2021年度
後期・理系数学後期第2問