九州大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $b_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。与えられた漸化式は $${\displaystyle (a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=\frac{3n+p}{27M^3}}$$ であるから $${\displaystyle b_{n+1}-b_n=\frac{3n+p}{27M^3}}$$ である。また $b_1=a_2-a_1=0$ である。したがって $n\geqq 1$ について $${\displaystyle b_n=b_1+\sum _{j=1}^{n-1}\frac{3j+p}{27M^3}}$$ であり、$${\displaystyle b_n=\frac{1}{27M^3}\{3\cdot \frac{(n-1)n}{2}+p(n-1)\}}$$ となる。よって $${\displaystyle b_n=\frac{(n-1)(3n+2p)}{54M^3}}$$ である。

(2) $a_1=0$ であり、$b_j=a_{j+1}-a_j$ だから $a_n={\sum }_{j=1}^{n-1}{b}_j$ である。(1)の結果を用いると $${\displaystyle a_n=\frac{1}{54M^3}\sum _{j=1}^{n-1}(j-1)(3j+2p)}$$ である。ここで $m=j-1$ とおくと $(j-1)(3j+2p)=m(3m+3+2p)$ であるから$$\sum _{j=1}^{n-1}(j-1)(3j+2p)=3\sum _{m=0}^{n-2}{m}^2+(3+2p)\sum _{m=0}^{n-2}m$$ $${\displaystyle =\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{2}+\frac{(3+2p)(n-2)(n-1)}{2}}$$ $=(n-2)(n-1)(n+p)$ である。したがって $${\displaystyle a_n=\frac{(n-2)(n-1)(n+p)}{54M^3}}$$ である。

特に $${\displaystyle a_{3M}=\frac{(3M-2)(3M-1)(3M+p)}{54M^3}}$$ である。$M\geqq 2$ なので $3M-2$ と $3M-1$ は0でない。よって $a_{3M}=0$ となる条件は $3M+p=0$ であり、$p_M=-3M$ である。

(3) $p=p_M=-3M$ のとき $${\displaystyle a_n=\frac{(n-2)(n-1)(n-3M)}{54M^3}}$$ である。$n=1,2,3M$ では $a_n=0$ であり、$3\leqq n\leqq 3M-1$ では $$n-2>0,n-1>0,n-3M<0$$ なので $a_n<0$ である。

したがって最小の項を求めるには $h(n)=(n-2)(n-1)(3M-n)$ の最大値を、整数 $n$ の範囲で求めればよい。差を計算すると $$h(n+1)-h(n)=(n-1)n(3M-n-1)-(n-2)(n-1)(3M-n)$$ $$=(n-1)\{2(3M-n)-n\}=-3(n-1)(n-2M)$$ である。

よって $n<2M$ では $h(n+1)-h(n)>0$、$n>2M$ では $h(n+1)-h(n)<0$ である。また $n=2M$ では差が0なので $h(2M)=h(2M+1)$ である。したがって $h(n)$ は $n=2M,n=2M+1$ で最大となる。ゆえに $a_n=c_M$ となるのは $n=2M,n=2M+1$ である。

最小値は $${\displaystyle c_M=a_{2M}=\frac{(2M-2)(2M-1)(-M)}{54M^3}=-\frac{(M-1)(2M-1)}{27M^2}}$$ である。したがって$$\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_M=-\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(M-1)(2M-1)}{27M^2}=-\frac{2}{27}$$である。

右辺が $n$ の1次式なので，2階差をとる数列 $a_n$ は $n$ の3次式になる。初期条件を含む候補を直接代入して一般項を確定し，$a_{3M}=0$ から $p$ を決める。最小項は1階差の符号だけで判定する。

(1)
候補$$b_n=\frac{(n-1)(3n+2p)}{54M^3}$$について直接計算すると$$b_{n+1}-b_n=\frac{3n+p}{27M^3},b_1=0$$を満たす。よって $b_n=a_{n+1}-a_n$ の一意性から$$b_n=\frac{(n-1)(3n+2p)}{54M^3}\mathrm{.}$$(2)
さらに$$A_n=\frac{(n-2)(n-1)(n+p)}{54M^3}$$とおくと$$A_1=A_2=0,A_{n+1}-A_n=b_n\mathrm{.}$$したがって元の漸化式と初期条件を満たす数列は一意だから$$a_n=\frac{(n-2)(n-1)(n+p)}{54M^3}\mathrm{.}$$条件 $a_{3M}=0$ では $M\ge 2$ より $3M-2,3M-1\mathrm{\ne }0$ なので$$3M+p=0,p_M=-3M\mathrm{.}$$(3)
$p=-3M$ のとき$$a_{n+1}-a_n=\frac{(n-1)(n-2M)}{18M^3}\mathrm{.}$$したがって数列は $n<2M$ で減少し，$n=2M$ で差が0となり，その後は増加する。最小値は$$n=2M,2M+1$$でとる。その値は$$c_M=a_{2M}=-\frac{(M-1)(2M-1)}{27M^2}\mathrm{.}$$よって$$\underset{M\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_M=-\frac{2}{27}\mathrm{.}$$