九州大学 2021年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$θ$ を $0 < θ < \frac{π}{4}$ をみたす定数とし， $x$ の2次方程式

x^{2} - (4 cos θ) x + \frac{1}{tan θ} = 0 \dots\dots (＊)

を考える。以下の問いに答えよ。

(1) 2次方程式(＊)が実数解をもたないような $θ$ の値の範囲を求めよ。

(2) $θ$ が(1)で求めた範囲にあるとし，(＊)の2つの虚数解を $α$ ， $β$ とする。ただし， $α$ の虚部は $β$ の虚部より大きいとする。複素数平面上の3点 $A (α)$ ， $B (β)$ ， $O (0)$ を通る円の中心を $C (γ)$ とするとき， $θ$ を用いて $γ$ を表せ。

(3) 点 $O$ ， $A$ ， $C$ を(2)のように定めるとき，三角形 $O A C$ が直角三角形になるような $θ$ に対する $tan θ$ の値を求めよ。

出典：九州大学 2021年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

解法1（判別式と共役根を通る円を用いる）

(1)は二次方程式の判別式が負になる条件を、 $0 < θ < π /4$ の範囲で三角関数の不等式に直す。(2)では実係数で虚数解をもつため2根は共役であり、円の中心は実軸上にある。中心を実数 $γ$ と置き、 $O$ と $A (α)$ までの距離が等しい条件から $γ$ を求める。(3)では $C O = C A$ であることから直角の位置を $C$ に絞り、 $γ = 2 cos θ$ を $tan θ$ の方程式へ変換する。

解法2（根の実部・絶対値と直角条件を用いる）

判別式を $sin 2 θ$ で整理して虚根条件を決める。2根は共役なので，円の中心は実軸上にあり，根の実部と絶対値から中心 $γ$ を直接求める。直角三角形となる場合は直角が中心 $C$ にあることを内積で確定する。

解答

解法1（判別式と共役根を通る円を用いる）

(1)

二次方程式 $x^{2} - (4 cos θ) x + \frac{1}{tan θ} = 0$ の判別式を $D$ とすると

D = (4 cos θ)^{2} - 4 \cdot \frac{1}{tan θ} = 16 cos^{2} θ - \frac{4}{tan θ}

である。実数解をもたない条件は $D < 0$ だから $16 cos^{2} θ < \frac{4}{tan θ}$ である。 $0 < θ < \frac{π}{4}$ では $sin θ > 0, cos θ > 0$ なので、両辺を整理して $4 sin θ cos θ < 1$ すなわち $2 sin 2 θ < 1$ を得る。ここで $0 < 2 θ < \frac{π}{2}$ であるから $sin 2 θ < \frac{1}{2}$ は $0 < 2 θ < \frac{π}{6}$ と同値である。したがって求める範囲は $0 < θ < \frac{π}{12}$ である。

(2)

$θ$ は(1)の範囲にあるので、2つの解 $α, β$ は互いに共役な虚数である。よって $α + β = 4 cos θ$ から、 $α$ の実部は $\frac{α + β}{2} = 2 cos θ$ である。また $α β = \frac{1}{tan θ}$ であり、共役複素数の積は絶対値の2乗だから $∣ α ∣^{2} = \frac{1}{tan θ}$ である。

3点 $A (α), B (β), O (0)$ を通る円は、共役な2点 $A, B$ に関して実軸対称である。したがってその中心 $C (γ)$ は実軸上にあり、 $γ$ は実数である。

円の中心から $O$ と $A$ までの距離が等しいので $∣ γ ∣^{2} = ∣ α - γ ∣^{2}$ である。 $γ$ は実数だから、 $α$ の実部を用いて $γ^{2} = ∣ α ∣^{2} - 2 γ Re α + γ^{2}$ となる。よって $2 γ Re α = ∣ α ∣^{2}$ であり、 $2 γ \cdot 2 cos θ = \frac{1}{tan θ}$ である。したがって $γ = \frac{1}{4 cos θ tan θ} = \frac{1}{4 sin θ}$ である。

(3)

点 $O$ と点 $A$ は、中心 $C$ の円周上にあるので $C O = C A$ である。したがって三角形 $O A C$ は $C$ を頂点とする二等辺三角形である。 $A$ は虚数点で実軸上にないため、直角が $O$ や $A$ に来ることはなく、直角三角形になるなら直角は $C$ にある。 $C$ で直角になる条件は、実軸上の線分 $C O$ と $C A$ が垂直になることである。 $O = 0$ , $C = γ$ , $Re α = 2 cos θ$ より、この条件は $Re α = γ$ ではなく、 $C$ から見た $A$ の横方向の成分が0になること、すなわち $2 cos θ - γ = 0$ である。よって $γ = 2 cos θ$ である。

(2)の結果を代入すると $\frac{1}{4 sin θ} = 2 cos θ$ となる。したがって $8 sin θ cos θ = 1$ すなわち $sin 2 θ = \frac{1}{4}$ である。 $u = tan θ$ とおくと $sin 2 θ = \frac{2 u}{1 + u ^{2}}$ だから $\frac{2 u}{1 + u ^{2}} = \frac{1}{4}$ である。整理して $u^{2} - 8 u + 1 = 0$ となり、 $u = 4 \pm 15$ を得る。 $0 < θ < \frac{π}{12}$ より $0 < u < 1$ であるから $tan θ = 4 - 15$ である。

解法2（根の実部・絶対値と直角条件を用いる）

(1)

判別式が負である条件は

16 cos^{2} θ - \frac{4}{tan θ} < 0.

$0 < θ < π /4$ では $tan θ > 0$ だから

4 cos^{2} θ tan θ < 1 ⟺ 2 sin 2 θ < 1.

また $0 < 2 θ < π /2$ なので

0 < θ < \frac{π}{12}

である。

(2)

2根 $α, β$ は共役であり，

α + β = 4 cos θ, α β = \frac{1}{tan θ} .

3点 $0, α, β$ を通る円の中心は実軸上にあるので $C (γ)$ とおける。半径が $γ$ であることから

∣ α - γ ∣^{2} = γ^{2} .

これを展開すると

∣ α ∣^{2} - 2 γ Re α = 0.

ここで $∣ α ∣^{2} = α β = cot θ$ ， $Re α = (α + β) /2 = 2 cos θ$ だから

γ = \frac{cot θ}{4 cos θ} = \frac{1}{4 sin θ} .

(3)

$O C = A C = γ$ なので三角形 $O A C$ は二等辺である。直角になり得るのは頂点 $C$ であり，

C O \cdot C A = 0

から $γ = Re α = 2 cos θ$ を得る。(2)と合わせて

\frac{1}{4 sin θ} = 2 cos θ, 8 sin θ cos θ = 1.

$u = tan θ$ とおくと

\frac{8 u}{1 + u ^{2}} = 1, u^{2} - 8 u + 1 = 0.

よって $u = 4 \pm 15$ であるが， $θ < π /12$ より小さい方を選び

tan θ = 4 - 15

となる。

九州大学 2021年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解法1（判別式と共役根を通る円を用いる）

解法2（根の実部・絶対値と直角条件を用いる）

解答

解法1（判別式と共役根を通る円を用いる）

(1)

(2)

(3)

解法2（根の実部・絶対値と直角条件を用いる）

(1)

(2)

(3)

九州大学 2021年度
理系数学前期第2問