九州大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
二次方程式 $${\displaystyle x^2-(4\cos \theta )x+\frac{1}{\tan \theta }=0}$$ の判別式を $D$ とすると$$D=(4\cos \theta {)}^2-4\cdot \frac{1}{\tan \theta }=16{\cos }^2\theta -\frac{4}{\tan \theta }$$である。実数解をもたない条件は $D<0$ だから $${\displaystyle 16{\cos }^2\theta <\frac{4}{\tan \theta }}$$ である。$${\displaystyle 0<\theta <\frac{\pi }{4}}$$ では $$\sin \theta >0,\cos \theta >0$$ なので、両辺を整理して $4\sin \theta \cos \theta <1$ すなわち $2\sin 2\theta <1$ を得る。ここで $${\displaystyle 0<2\theta <\frac{\pi }{2}}$$ であるから $${\displaystyle \sin 2\theta <\frac{1}{2}}$$ は $${\displaystyle 0<2\theta <\frac{\pi }{6}}$$ と同値である。したがって求める範囲は $${\displaystyle 0<\theta <\frac{\pi }{12}}$$ である。

(2) $\theta$ は(1)の範囲にあるので、2つの解 $\alpha ,\beta$ は互いに共役な虚数である。よって $$\alpha +\beta =4\cos \theta$$ から、$\alpha$ の実部は $${\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}=2\cos \theta }$$ である。また $${\displaystyle \alpha \beta =\frac{1}{\tan \theta }}$$ であり、共役複素数の積は絶対値の2乗だから $${\displaystyle \mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2=\frac{1}{\tan \theta }}$$ である。

3点 $A(\alpha ),B(\beta ),O(0)$ を通る円は、共役な2点 $A,B$ に関して実軸対称である。したがってその中心 $C(\gamma )$ は実軸上にあり、$\gamma$ は実数である。

円の中心から $O$ と $A$ までの距離が等しいので $$\mathrm{\mid }\gamma {\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\alpha -\gamma {\mathrm{\mid }}^2$$ である。$\gamma$ は実数だから、$\alpha$ の実部を用いて $${\gamma }^2=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-2\gamma \mathrm{Re}\alpha +{\gamma }^2$$ となる。よって $$2\gamma \mathrm{Re}\alpha =\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$$ であり、$${\displaystyle 2\gamma \cdot 2\cos \theta =\frac{1}{\tan \theta }}$$ である。したがって $${\displaystyle \gamma =\frac{1}{4\cos \theta \tan \theta }=\frac{1}{4\sin \theta }}$$ である。

(3)
点 $O$ と点 $A$ は、中心 $C$ の円周上にあるので $CO=CA$ である。したがって三角形 $OAC$ は $C$ を頂点とする二等辺三角形である。$A$ は虚数点で実軸上にないため、直角が $O$ や $A$ に来ることはなく、直角三角形になるなら直角は $C$ にある。 $C$ で直角になる条件は、実軸上の線分 $CO$ と $CA$ が垂直になることである。$O=0$, $C=\gamma$, $$\mathrm{Re}\alpha =2\cos \theta$$ より、この条件は $$\mathrm{Re}\alpha =\gamma$$ ではなく、$C$ から見た $A$ の横方向の成分が0になること、すなわち $2\cos \theta -\gamma =0$ である。よって $\gamma =2\cos \theta$ である。

(2) の結果を代入すると $${\displaystyle \frac{1}{4\sin \theta }=2\cos \theta }$$ となる。したがって $8\sin \theta \cos \theta =1$ すなわち $${\displaystyle \sin 2\theta =\frac{1}{4}}$$ である。 $u=\tan \theta$ とおくと $${\displaystyle \sin 2\theta =\frac{2u}{1+u^2}}$$ だから $${\displaystyle \frac{2u}{1+u^2}=\frac{1}{4}}$$ である。整理して $u^2-8u+1=0$ となり、$$u=4\pm \sqrt{15}$$ を得る。$${\displaystyle 0<\theta <\frac{\pi }{12}}$$ より $0<u<1$ であるから $$\tan \theta =4-\sqrt{15}$$ である。

判別式を $\sin 2\theta$ で整理して虚根条件を決める。2根は共役なので，円の中心は実軸上にあり，根の実部と絶対値から中心 $\gamma$ を直接求める。直角三角形となる場合は直角が中心 $C$ にあることを内積で確定する。

(1)
判別式が負である条件は$$16{\cos }^2\theta -\frac{4}{\tan \theta }<0.$$$0<\theta <\pi \mathrm{/}4$ では $\tan \theta >0$ だから$$4{\cos }^2\theta \tan \theta <1⟺2\sin 2\theta <1.$$また $0<2\theta <\pi \mathrm{/}2$ なので$$0<\theta <\frac{\pi }{12}$$である。

(2)
2根 $\alpha ,\beta$ は共役であり，$$\alpha +\beta =4\cos \theta ,\alpha \beta =\frac{1}{\tan \theta }\mathrm{.}$$3点 $0,\alpha ,\beta$ を通る円の中心は実軸上にあるので $C(\gamma )$ とおける。半径が $\gamma$ であることから$$\mathrm{\mid }\alpha -\gamma {\mathrm{\mid }}^2={\gamma }^2\mathrm{.}$$これを展開すると$$\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-2\gamma \mathrm{Re}\alpha =0.$$ここで $$\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2=\alpha \beta =\cot \theta$$，$$\mathrm{Re}\alpha =(\alpha +\beta )\mathrm{/}2=2\cos \theta$$ だから$$\gamma =\frac{\cot \theta }{4\cos \theta }=\frac{1}{4\sin \theta }\mathrm{.}$$(3)
$OC=AC=\gamma$ なので三角形 $OAC$ は二等辺である。直角になり得るのは頂点 $C$ であり，$$\overrightarrow{CO}\cdot \overrightarrow{CA}=0$$から $$\gamma =\mathrm{Re}\alpha =2\cos \theta$$ を得る。(2)と合わせて$$\frac{1}{4\sin \theta }=2\cos \theta ,8\sin \theta \cos \theta =1.$$$u=\tan \theta$ とおくと$$\frac{8u}{1+u^2}=1,u^2-8u+1=0.$$よって $$u=4\pm \sqrt{15}$$ であるが，$\theta <\pi \mathrm{/}12$ より小さい方を選び$$\tan \theta =4-\sqrt{15}$$となる。