九州大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
条件(＊)は、すべての実数 $t$ に対して $y\leqq e^t-xt$ が成り立つということである。したがって、固定した $x$ に対して $e^t-xt$ の最小値を調べ、その最小値以下の $y$ が許される。

まず $x>0$ とする。 $\varphi (t)=e^t-xt$ とおくと ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)=e^t-x$ である。よって ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ となるのは $t=\log x$ である。また ${\varphi }^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=e^t>0$ なので、ここで最小となる。最小値は $$\varphi (\log x)=x-x\log x=x(1-\log x)$$ である。したがって $x>0$ では $y\leqq x(1-\log x)$ が条件である。

次に $x=0$ のとき、条件は $$y\leqq e^t(\text{すべての実数 }t)$$ である。$e^t>0$ であり、$t\to -\mathrm{\infty }$ で $e^t\to 0$ だから、これは $y\leqq 0$ と同値である。

最後に $x<0$ のとき、$t\to -\mathrm{\infty }$ とすると $e^t-xt\to -\mathrm{\infty }$ である。したがってどのような実数 $y$ も、すべての $t$ に対して $y\leqq e^t-xt$ をみたすことはできない。

以上より、求める集合は $$x>0,y\leqq x(1-\log x)$$ と $x=0,y\leqq 0$ からなる。図示すれば、曲線 $y=x(1-\log x)$ の下側に、原点から下向きの $y$ 軸上の半直線を加えた領域である。

(2)
集合 $S$ ではさらに $x\geqq 1,y\geqq 0$ をみたす。上端は $y=x(1-\log x)$ であるから、$y\geqq 0$ となるには $1-\log x\geqq 0$ すなわち $x\leqq e$ が必要である。よって $S$ は $$1\leqq x\leqq e,0\leqq y\leqq x(1-\log x)$$ で表される。

これを $x$ 軸のまわりに1回転させるので、体積は$$V=\pi {\int }_1^e\{x(1-\log x){\}}^{2}dx=\pi {\int }_1^e{x}^2(1-\log x{)}^{2}dx$$である。

積分を計算する。部分積分を用いると$$\int x^2(1-\log x{)}^{2}dx=x^3\{\frac{(\log x{)}^2}{3}-\frac{8\log x}{9}+\frac{17}{27}\}$$である。したがって$${\int }_1^e{x}^2(1-\log x{)}^{2}dx=e^3(\frac{1}{3}-\frac{8}{9}+\frac{17}{27})-\frac{17}{27}$$ $${\displaystyle =\frac{2e^3}{27}-\frac{17}{27}=\frac{2e^3-17}{27}}$$ である。よって求める体積は ${\displaystyle \frac{\pi }{27}(2e^3-17)}$ である。

条件を $y\le {\inf }_t(e^t-xt)$ と読み替える。$x>0$ では接点 $t=\log x$ が最小を与え，境界曲線を得る。体積積分は $u=\log x$ と置いて区間 $[0,1]$ の指数関数積分へ変換する。

(1)
条件は $y\le e^t-xt$ がすべての実数 $t$ で成り立つことである。

$x<0$ なら $t\to -\mathrm{\infty }$ で $e^t-xt\to -\mathrm{\infty }$ となるので，条件を満たす点はない。$x=0$ では $\inf e^t=0$ だから $y\le 0$ である。

$x>0$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d}{dt}(e^t-xt)}& {\displaystyle =e^t-x,}\\ {\displaystyle \underset{t}{\inf }(e^t-xt)}& {\displaystyle =x-x\log x=x(1-\log x)}\end{array}$$となり，最小点は $t=\log x$ である。
したがって求める集合は$$x=0,y\le 0\text{または}x>0,y\le x(1-\log x)$$であり，境界を含む。

(2)
$x\ge 1$ かつ $y\ge 0$ となる部分は $1\le x\le e$，$0\le y\le x(1-\log x)$ である。これを $x$ 軸のまわりに回転して$$V=\pi {\int }_1^e{x}^2(1-\log x{)}^{2}dx$$を得る。$u=\log x$ とおくと $x=e^u,dx=e^{u}du$ だから$$\frac{V}{\pi }={\int }_0^1{e}^{3u}(1-u{)}^{2}du\mathrm{.}$$原始関数を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int e^{3u}(1-u{)}^{2}du}& {\displaystyle =e^{3u}\{\frac{(1-u{)}^2}{3}+\frac{2(1-u)}{9}+\frac{2}{27}\},}\\ {\displaystyle \frac{V}{\pi }}& {\displaystyle =\frac{2e^3}{27}-\frac{17}{27}}\end{array}$$となる。したがって $${\displaystyle V=\frac{2e^3-17}{27}\pi }$$ である。