九州大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $n=2$ のとき $$f(x)=u{x}^2+vx+w(u\mathrm{\ne }0)$$ とおく。すると $$f(\beta )-f(\alpha )=u({\beta }^2-{\alpha }^2)+v(\beta -\alpha )$$ であるから、$\alpha \mathrm{\ne }\beta$ より $${\displaystyle \frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }=u(\alpha +\beta )+v}$$ である。

一方 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ux+v$ である。ここで $${\displaystyle \gamma =\frac{\alpha +\beta }{2}}$$ とおくと、$\gamma$ は $\alpha$ と $\beta$ を結ぶ線分の中点であり、$${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(\gamma )=2u\cdot \frac{\alpha +\beta }{2}+v=u(\alpha +\beta )+v}$$ である。よってどのような $\alpha ,\beta ,f(x)$ も平均値の性質をもつ。

(2) $\alpha =1-i$, $\beta =1+i$ を結ぶ線分上の点は $$\gamma =1+ti(-1\leqq t\leqq 1)$$ と表される。

まず差商を計算する。$$\frac{{\beta }^3-{\alpha }^3}{\beta -\alpha }=2,\frac{{\beta }^2-{\alpha }^2}{\beta -\alpha }=2,\frac{\beta -\alpha }{\beta -\alpha }=1$$であるから $${\displaystyle \frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }=2+2a+b}$$ である。

一方 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b$ だから $$f^{\mathrm{\prime }}(1+ti)=3(1+ti{)}^2+2a(1+ti)+b$$ $=2a+b+3-3t^2+i(2a+6)t$ である。これが実数 $2a+b+2$ に等しいための条件は $2a+b+3-3t^2=2a+b+2$ かつ $(2a+6)t=0$ である。第1式より $${\displaystyle t^2=\frac{1}{3}}$$ であるから $t\mathrm{\ne }0$ である。したがって第2式から $2a+6=0$ すなわち $a=-3$ が必要である。

逆に $a=-3$ なら、$${\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{3}}}$$ または $${\displaystyle t=-\frac{1}{\sqrt{3}}}$$ は線分上の点を与え、上の2条件をみたす。$b,c$ は差商と導関数の一致条件に制限を与えない。よって必要十分条件は $a=-3$ であり、$b,c$ は任意の実数である。

(3) $${\displaystyle \alpha =\frac{1-i}{\sqrt{2}},\beta =\frac{1+i}{\sqrt{2}}}$$ である。これはそれぞれ偏角 ${\displaystyle -\frac{\pi }{4}}$, ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ の絶対値1の複素数であるから $${\alpha }^7=\beta ,{\beta }^7=\alpha$$ である。したがって$$\frac{{\beta }^7-{\alpha }^7}{\beta -\alpha }=\frac{\alpha -\beta }{\beta -\alpha }=-1$$である。

線分上の点を $${\displaystyle \gamma =\frac{1+ti}{\sqrt{2}}(-1\leqq t\leqq 1)}$$ とおく。もし平均値の性質をもつなら $f^{\mathrm{\prime }}(\gamma )=7{\gamma }^6=-1$ でなければならない。

ところが $${\displaystyle {\gamma }^6=\frac{(1+ti{)}^6}{8}}$$ であり、その虚部は ${\displaystyle \frac{t(t^2-3)(3t^2-1)}{4}}$ である。$-1\leqq t\leqq 1$ で虚部が0になるのは $${\displaystyle t=0,t=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ だけである。 $t=0$ のとき $${\displaystyle {\gamma }^6=\frac{1}{8}}$$ であり、$7{\gamma }^6=-1$ ではない。また $${\displaystyle t=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ のときは $${\displaystyle {\gamma }^6=-\frac{8}{27}}$$ であるから $${\displaystyle 7{\gamma }^6=-\frac{56}{27}\mathrm{\ne }-1}$$ である。したがって線分上に条件をみたす $\gamma$ は存在せず、$\alpha ,\beta ,f(x)=x^7$ は平均値の性質をもたない。

線分上の点を $\gamma =(\alpha +\beta )\mathrm{/}2+t(\beta -\alpha )\mathrm{/}2(-1\le t\le 1)$ と表す。(1)は中点で成立する。(2)は $\gamma =1+it$ と置いて実部・虚部を比較し，(3)は $7{\gamma }^6=-1$ の6根の実部が線分の実部と一致しないことを示す。

(1)
$n=2$ とし $f(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ とする。線分の中点を選ぶと$$\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }=a_2(\alpha +\beta )+a_1,\gamma =\frac{\alpha +\beta }{2},f^{\mathrm{\prime }}(\gamma )=a_2(\alpha +\beta )+a_1\mathrm{.}$$よって任意の $\alpha \mathrm{\ne }\beta$ と2次式で平均値の性質が成立する。

(2)
$\alpha =1-i,\beta =1+i$ を結ぶ線分上の点を $$\gamma =1+it(-1\le t\le 1)$$ と表す。このとき$$\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }=2a+b+2,f^{\mathrm{\prime }}(\gamma )=3(1+it{)}^2+2a(1+it)+b\mathrm{.}$$両者の実部と虚部を比較すると$$1-3t^2=0,2(3+a)t=0.$$第1式より $t=\pm 1\mathrm{/}\sqrt{3}\mathrm{\ne }0$ なので $a=-3$ が必要である。逆に $a=-3$ ならこの2点で等式が成立する。したがって必要十分条件は $a=-3$ であり，$b,c$ は任意の実数である。

(3)
与えられた $\alpha ,\beta$ では $${\alpha }^7=\beta ,{\beta }^7=\alpha$$ だから割線の傾きは $-1$ である。平均値の性質が成り立つなら，線分上の点 $\gamma$ が$$7{\gamma }^6=-1,\mathrm{Re}\gamma =\frac{1}{\sqrt{2}}$$を同時に満たす必要がある。一方，$7{\gamma }^6=-1$ の6根のうち実部が正のものは偏角 $\pm \pi \mathrm{/}6$ の2根だけで，その実部は$$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt[6]{7}}$$である。これは $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ に等しくない。実際，等しいと仮定して3乗すれば $27=56$ となり矛盾する。よって線分上に該当する $\gamma$ は存在せず，平均値の性質をもたない。