九州大学 2022年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の曲線 $C$ を，媒介変数 $t$ を用いて次のように定める。

x = 5 cos t + cos 5 t, y = 5 sin t - sin 5 t (- π ≦ t < π)

以下の問いに答えよ。

(1) 区間 $0 < t < \frac{π}{6}$ において， $\frac{d x}{d t} < 0, \frac{d y}{d x} < 0$ であることを示せ。

(2) 曲線 $C$ の $0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}$ の部分， $x$ 軸，直線 $y = \frac{1}{3} x$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

(3) 曲線 $C$ は $x$ 軸に関して対称であることを示せ。また， $C$ 上の点を原点を中心として反時計回りに $\frac{π}{3}$ だけ回転させた点は $C$ 上にあることを示せ。

(4) 曲線 $C$ の概形を図示せよ。

出典：九州大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

解法1

(1) は媒介変数表示を微分し， $0 < t < π /6$ で $t$ と $5 t$ がどの範囲にあるかを使って符号を判定する。(2) は曲線の端点がそれぞれ $x$ 軸上と直線 $y = x / 3$ 上にあることを確認し，境界の2本の線分が原点を通るため，

\frac{1}{2} \int (x d y - y d x)

で面積を求める。計算の係数を落としやすいので， $x y^{'} - y x^{'}$ を丁寧に展開する。別解として，(1) の単調性を用いて曲線を上側境界と見なし，三角形の面積と

- \int y d x

を足す方法も使える。(3)(4) は $t \mapsto - t$ による対称性と，加法定理による $t \mapsto t + π /3$ の回転対応から概形を作る。

解法2（(2)を縦の面積で直接計算）

(1)(3)(4) は解法1と同じである。(2) だけ別に， $x$ の単調減少を用いて曲線をグラフとみなす。原点から $x = 23$ までの三角形と， $x = 23$ から6までの曲線下の面積に分ける。後者を媒介変数積分に直し，3つの三角積分を積和公式で最後まで計算する。

解答

解法1

(1)

$\frac{d x}{d t} = - 5 sin t - 5 sin 5 t = - 5 (sin t + sin 5 t)$ である。 $0 < t < \frac{π}{6}$ では $0 < t < \frac{π}{6}, 0 < 5 t < \frac{5 π}{6} < π$ だから $sin t > 0$ ， $sin 5 t > 0$ である。よって $\frac{d x}{d t} < 0$ である。

また $\frac{d y}{d t} = 5 cos t - 5 cos 5 t = 5 (cos t - cos 5 t)$ である。 $0 < t < 5 t < π$ で， $cos x$ は $0 ≦ x ≦ π$ で減少するから $cos t > cos 5 t$ である。したがって $\frac{d y}{d t} > 0$ である。以上より $\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t} < 0$ が成り立つ。

(2)

端点を確認すると， $t = 0$ で $(x, y) = (6, 0)$ であり， $t = \frac{π}{6}$ で

x = 5 \cdot \frac{3}{2} + cos \frac{5 π}{6} = 23, y = 5 \cdot \frac{1}{2} - sin \frac{5 π}{6} = 2

である。この点は $y = \frac{1}{3} x$ 上にある。

求める図形の境界は，原点から $(6, 0)$ への $x$ 軸上の線分，曲線の $0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}$ の部分，および $(23, 2)$ から原点への直線上の線分である。

曲線部分で部分積分を行うと

\int x d y = [x y]_{t = 0}^{t = π /6} - \int y d x = 43 - \int y d x .

したがって

\frac{1}{2} \int (x d y - y d x) = 23 - \int y d x

となる。右辺は，原点・ $(23, 0)$ ・ $(23, 2)$ の三角形の面積と，曲線下の面積の和であり，まさに求める面積である。よって面積 $S$ は

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} (x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t}) d t

で求められる。

ここで $x = 5 cos t + cos 5 t, y = 5 sin t - sin 5 t$ より $\frac{d x}{d t} = - 5 sin t - 5 sin 5 t, \frac{d y}{d t} = 5 cos t - 5 cos 5 t$ である。したがって

x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t} = (5 cos t + cos 5 t) (5 cos t - 5 cos 5 t) - (5 sin t - sin 5 t) (- 5 sin t - 5 sin 5 t) = 20 - 20 cos 6 t

である。よって

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} 20 (1 - cos 6 t) d t = 10 [t - \frac{sin 6 t}{6}]_{0}^{\frac{π}{6}} = \frac{5 π}{3}

である。

(3)

まず

x (- t) = x (t), y (- t) = - y (t)

である。したがって，媒介変数が $t$ の点と $- t$ の点は $x$ 軸に関して対称であり，曲線 $C$ は $x$ 軸に関して対称である。

次に $X = x (t)$ ， $Y = y (t)$ とおく。 $5 (t + π /3) \equiv 5 t - π /3 (mod 2 π)$ であるから，加法定理より

x (t + \frac{π}{3}) y (t + \frac{π}{3}) = 5 cos (t + \frac{π}{3}) + cos (5 t - \frac{π}{3}) = X cos \frac{π}{3} - Y sin \frac{π}{3}, = 5 sin (t + \frac{π}{3}) - sin (5 t - \frac{π}{3}) = X sin \frac{π}{3} + Y cos \frac{π}{3} .

右辺は点 $(X, Y)$ を原点のまわりに反時計回りに $π /3$ 回転した座標である。必要なら $t + π /3$ から $2 π$ の整数倍を引けば，媒介変数を $- π ≦ t < π$ に取れる。よって回転後の点も $C$ 上にある。

(4)

一つの弧の代表点は

t = 0 : (6, 0), t = \frac{π}{6} : (23, 2), t = \frac{π}{3} : (3, 33)

である。(1) より，前半 $0 < t < π /6$ では $x$ は減少し， $y$ は増加する。また， $x$ 軸に関する対称移動と $π /3$ 回転を続けて行うと直線 $y = x / 3$ に関する対称移動になるので，後半の弧は前半の弧をこの直線に関して折り返した形になる。

さらに

\frac{d x}{d t} = - 5 (sin t + sin 5 t), \frac{d y}{d t} = 5 (cos t - cos 5 t)

は $t = k π /3$ でともに $0$ になる。したがって六つの尖点は

(6, 0), (3, 33), (- 3, 33), (- 6, 0), (- 3, - 33), (3, - 33)

である。以上の一つの弧を $π /3$ ずつ回転してつなぐと，下図のような6回対称の閉曲線を得る。

解法2（(2)を縦の面積で直接計算）

(1)

符号判定は解法1と同じである。

(2)

$0 < t < π /6$ では $d x / d t < 0$ なので，曲線部分は $x$ の関数のグラフとみなせる。求める面積は

- 原点， $(23, 0)$ ， $(23, 2)$ の三角形- $x = 23$ から $x = 6$ までの曲線下の部分

の和である。三角形の面積は

\frac{1}{2} \cdot 23 \cdot 2 = 23 .

曲線下の面積を $I$ とすると

I = \int_{23}^{6} y d x = - \int_{0}^{π /6} y (t) x^{'} (t) d t = 5 \int_{0}^{π /6} (5 sin t - sin 5 t) (sin t + sin 5 t) d t = 5 \int_{0}^{π /6} {5 sin^{2} t + 4 sin t sin 5 t - sin^{2} 5 t} d t .

ここで

\int_{0}^{π /6} sin^{2} t d t = \frac{π}{12} - \frac{3}{8},

\int_{0}^{π /6} sin t sin 5 t d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{π /6} (cos 4 t - cos 6 t) d t = \frac{3}{16},

\int_{0}^{π /6} sin^{2} 5 t d t = [\frac{t}{2} - \frac{sin 10 t}{20}]_{0}^{π /6} = \frac{π}{12} + \frac{3}{40} .

したがって

I = 5 {5 (\frac{π}{12} - \frac{3}{8}) + 4 \cdot \frac{3}{16} - (\frac{π}{12} + \frac{3}{40})} = \frac{5 π}{3} - 23 .

よって

S = 23 + I = \frac{5 π}{3} .

(3)

対称性の証明は解法1と同じである。

(4)

概形の構成は解法1と同じである。

九州大学 2022年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2（(2)を縦の面積で直接計算）

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（(2)を縦の面積で直接計算）

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2022年度
理系数学第5問