九州大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

定積分について述べた次の文章を読んで，後の問いに答えよ。

区間$a\leqq x\leqq b$で連続な関数$f(x)$に対して，
$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$となる関数$F(x)$を1つ選び，$f(x)$の$a$から$b$までの定積分を$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\cdots \cdots \text{(1)}$$で定義する。定積分の値は$F(x)$の選び方によらずに定まる。定積分は次の性質(A)，(B)，(C)をもつ。

(A) ${\displaystyle {\int }_a^b\{kf(x)+lg(x)\}dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx+l{\int }_a^{b}g(x)dx}$

(B) $a\leqq c\leqq b$のとき，
${\displaystyle {\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx}$

(C) 区間$a\leqq x\leqq b$において$g(x)\geqq h(x)$ならば，
${\displaystyle {\int }_a^{b}g(x)dx\geqq {\int }_a^{b}h(x)dx}$

ただし，$f(x),g(x),h(x)$は区間$a\leqq x\leqq b$で連続な関数，$k,l$は定数である。

以下，$f(x)$を区間$0\leqq x\leqq 1$で連続な増加関数とし，$n$を自然数とする。
定積分の性質　[　ア　]　を用い，定数関数に対する定積分の計算を行うと，$$\frac{1}{n}f\left(\frac{i-1}{n}\right)\leqq {\int }_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx\leqq \frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right)(i=1,2,\cdots ,n)\cdots \cdots \text{(2)}$$が成り立つことがわかる。
${\displaystyle S_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i-1}{n}\right)}$とおくと，
不等式(2)と定積分の性質　[　イ　]　より次の不等式が成り立つ。$$0\leqq {\int }_0^{1}f(x)dx-S_n\leqq \frac{f(1)-f(0)}{n}\cdots \cdots \text{(3)}$$よって，はさみうちの原理より${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n={\int }_0^{1}f(x)dx}$が成り立つ。

(1) 関数$F(x),G(x)$が微分可能であるとき，$${\{F(x)+G(x)\}}^{\mathrm{\prime }}=F^{\mathrm{\prime }}(x)+G^{\mathrm{\prime }}(x)$$が成り立つことを，導関数の定義に従って示せ。
また，この等式と定積分の定義(1)を用いて，
定積分の性質(A)で$k=l=1$とした場合の等式$${\int }_a^b\{f(x)+g(x)\}dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$$を示せ。

(2) 定積分の定義(1)と平均値の定理を用いて，次を示せ。

$a<b$のとき，区間$a\leqq x\leqq b$において$g(x)>0$ならば，${\displaystyle {\int }_a^{b}g(x)dx>0}$

(3) (A)，(B)，(C)のうち，空欄　[　ア　]　に入る記号として最もふさわしいものを1つ選び答えよ。
また文章中の下線部の内容を詳しく説明することで，不等式(2)を示せ。

(4) (A)，(B)，(C)のうち，空欄　[　イ　]　に入る記号として最もふさわしいものを1つ選び答えよ。
また，不等式(3)を示せ。