九州大学 2023年度 前期日程 一般選抜理系数学 第1問

(1) $x=0$ は方程式の解でない。そこで両辺を $x^2$ で割ると $$x^2-2x+3-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$ である。これは $${(x+\frac{1}{x})}^2-2(x+\frac{1}{x})+1=0$$ と書ける。したがって $${(x+\frac{1}{x}-1)}^2=0$$ であり、$x+\frac{1}{x}=1$ となる。両辺に $x$ をかけて $x^2-x+1=0$ を得る。よって $$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2},x=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$$ である。なお、もとの4次式は $(x^2-x+1{)}^2$ であり、これらは重解である。

(2) $$u=\alpha -\beta ,v=\beta -\gamma$$ とおくと $\gamma -\alpha =-(u+v)$ である。条件は $u^4+v^4+(u+v{)}^4=0$ となる。左辺を展開すると $$u^4+v^4+(u+v{)}^4=2(u^2+uv+v^2{)}^2$$ であるから、$u^2+uv+v^2=0$ を得る。

三角形 $ABC$ を考えているので、$v=\beta -\gamma \mathrm{\ne }0$ である。両辺を $v^2$ で割ると $${\left(\frac{u}{v}\right)}^2+\frac{u}{v}+1=0$$ である。ここで $$X=-\frac{u}{v}$$ とおくと $X^2-X+1=0$ となるので、(1) より $$X=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$$ である。したがって $$\frac{u}{v}=-X$$ は絶対値が $1$ で、偏角が $\pm \frac{2\pi }{3}$ の複素数である。

よって $\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }$ である。また、$u\mathrm{/}v$ の偏角が $\pm \frac{2\pi }{3}$ であるから、$1+u\mathrm{/}v$ の絶対値も $1$ である。したがって $$\mathrm{\mid }u+v\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }\mid 1+\frac{u}{v}\mid =\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }$$ である。すなわち $$\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta -\gamma \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\gamma -\alpha \mathrm{\mid }$$ となる。三角形 $ABC$ の3辺の長さがすべて等しいので、$\mathrm{△}ABC$ は正三角形である。

(1) は4次式を平方に因数分解する。(2) では $z=\alpha -\beta$，$w=\gamma -\beta$ とおき，$x=w\mathrm{/}z$ が (1) と同じ4次方程式を満たすことを示す。解 $x=\cos (\pi \mathrm{/}3)\pm i\sin (\pi \mathrm{/}3)$ から，点 $C$ は点 $A$ を $B$ のまわりに $\pm \pi \mathrm{/}3$ 回転した点だと読む。

(1) $$x^4-2x^3+3x^2-2x+1=(x^2-x+1{)}^2$$だから$$x^2-x+1=0.$$よって$$x=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$$であり，それぞれ2重解である。

(2) $$z=\alpha -\beta ,w=\gamma -\beta$$とおく。三角形の頂点は異なるので $z\mathrm{\ne }0$ である。また
$\beta -\gamma =-w$，$\gamma -\alpha =w-z$ だから，与式は$$z^4+w^4+(w-z{)}^4=0.$$$z^4$ で割り，$X=w\mathrm{/}z$ とおくと$$1+X^4+(X-1{)}^4=0,$$すなわち$$X^4-2X^3+3X^2-2X+1=0$$となる。(1) より$$X=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}=\cos \frac{\pi }{3}\pm i\sin \frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$したがって $\overrightarrow{BC}$ は $\overrightarrow{BA}$ を
$\pm \pi \mathrm{/}3$ 回転したベクトルであり，長さは変わらない。

よって $BA=BC$ かつ $\mathrm{\angle }ABC=\pi \mathrm{/}3$ であるから，$$\mathrm{△}ABC\text{ は正三角形}$$である。